30. Vimos no Exercício 12 desta seção que

ln ⁡ x - 1 2 + y - 1 2 + 2 arctan ⁡ y - 1 x - 1 = c

Definem implicitamente soluções y = y x da equação

x - y d x + x + y - 2 d y = 0         ( I )

Faça

φ x ,   y = ln ⁡ x - 1 2 + y - 1 2 + 2 arctan ⁡ y - 1 x - 1

Calcule ∂ φ ∂ x e ∂ φ ∂ y . Determine, então, um fator integrante para I .

Passo 1

Bem, aqui temos um serviço a fazer. Primeiro, encontrar as derivadas parciais para então depois encontrar o fator integrante (você vai ver como vai ser tranquilo fazer isso depois de encontrar essas derivadas ).

Então vamos botar a mão na massa? Começando pela derivada em relação a x :

∂ φ ∂ x = ∂ ∂ x ln ⁡ x - 1 2 + y - 1 2 + 2 arctan ⁡ y - 1 x - 1       →

∂ φ ∂ x = ∂ ∂ x ln ⁡ x - 1 2 + y - 1 2 + 2 ∂ ∂ x arctan ⁡ y - 1 x - 1       →

Beleza, então derivando essas funções usando a regra da cadeia...

∂ φ ∂ x = 1 x - 1 2 + y - 1 2 ⋅ ∂ ∂ x x - 1 2 + y - 1 2 + 2 ∂ ∂ x arctan ⁡ y - 1 x - 1       →

∂ φ ∂ x = 1 x - 1 2 + y - 1 2 ⋅ ∂ ∂ x x - 1 2 + y - 1 2 + 2 ⋅ 1 1 + y - 1 x - 1 2 ⋅ ∂ ∂ x y - 1 x - 1       →

YUP! Agora vamos calcular essas demais derivadas implícitas, começando pela mais fácil, a primeira:

∂ φ ∂ x = 2 ⋅ x - 1 x - 1 2 + y - 1 2 + 2 ⋅ 1 1 + y - 1 x - 1 2 ⋅ ∂ ∂ x y - 1 x - 1       →

Em relação a essa segunda, veja que y - 1 é uma constante perante aderivada em relação a x , logo ele pode vazar desses colchetes:

∂ φ ∂ x = 2 ⋅ x - 1 x - 1 2 + y - 1 2 + 2 ⋅ y - 1 1 + y - 1 2 x - 1 2 ⋅ ∂ ∂ x 1 x - 1       →

∂ φ ∂ x = 2 ⋅ x - 1 x - 1 2 + y - 1 2 + 2 ⋅ y - 1 1 + y - 1 2 x - 1 2 ⋅ - 1 x - 1 2         →

SHOW! Então simplificando um pouquinho...

∂ φ ∂ x = 2 ⋅ x - 1 x - 1 2 + y - 1 2 - 2 ⋅ y - 1 x - 1 2 + y - 1 2         →

∂ φ ∂ x = 2 ⋅ x - 1 - 2 y - 1 x - 1 2 + y - 1 2       →

∂ φ ∂ x = 2 x - 2 y x - 1 2 + y - 1 2    

Passo 2

UFA! Que trabalhão. Calma, ainda falta essa derivada em relação a y :

∂ φ ∂ y = ∂ ∂ y ln ⁡ x - 1 2 + y - 1 2 + 2 arctan ⁡ y - 1 x - 1       →

Basicamente os cálculos serão os mesmos até...

∂ φ ∂ y = ∂ ∂ y ln ⁡ x - 1 2 + y - 1 2 + 2 ∂ ∂ y arctan ⁡ y - 1 x - 1       →

∂ φ ∂ y = 1 x - 1 2 + y - 1 2 ⋅ ∂ ∂ y x - 1 2 + y - 1 2 + 2 ∂ ∂ y arctan ⁡ y - 1 x - 1       →

∂ φ ∂ y = 1 x - 1 2 + y - 1 2 ⋅ ∂ ∂ y x - 1 2 + y - 1 2 + 2 ⋅ 1 1 + y - 1 x - 1 2 ⋅ ∂ ∂ y y - 1 x - 1           →

AQUI! Afinal, temos que derivar em relação a y agora e não a x , veja:

∂ φ ∂ y = 2 y - 1 x - 1 2 + y - 1 2 + 2 ⋅ 1 1 + y - 1 2 x - 1 2 ⋅ 1 x - 1 ∂ ∂ y y - 1           →

∂ φ ∂ y = 2 y - 1 x - 1 2 + y - 1 2 + 2 ⋅ 1 1 + y - 1 2 x - 1 2 ⋅ 1 x - 1           →

∂ φ ∂ y = 2 y - 1 x - 1 2 + y - 1 2 + 2 ⋅ x - 1 x - 1 + y - 1 2          

Passo 3

Com essas derivadas calculadas, podemos partir para a segunda etapa desse exercício que é encontrar qual foi o Fator integrante usado para resolver a EDO exata (redutível a exata, para sermos mais honestos).

x - y d x + x + y - 2 d y = 0

Pois bem, de acordo com a teoria, a solução dessa EDO é essa função φ aqui igualada a uma constante c :

φ x ,   y = c

Ao mesmo temo que a solução de uma EDO exata seja calculada seguindo essa equação aqui:

φ x ,   y = ∫ M x ,   y d x + G y

Derivando de ambos os lados em relação à x :

∂ ∂ x φ x ,   y = M x ,   y

SHOW! Acabamos de encontrar que é essa derivada de φ no passo 1 :

2 x - 2 y x - 1 2 + y - 1 2 = M x ,   y     →

M x ,   y = 2 x - 1 2 + y - 1 2 x - y

Comparando com a EDO exata:

x - y d x + x + y - 2 d y = 0         ( I )

Observamos que o fator integrante é esse termo que multiplica a função x - y :

2 x - 1 2 + y - 1 2 =

F a t o r   I n t e g r a n t e

Sacou?

Resposta

∂ φ ∂ x = 2 x - 2 y x - 1 2 + y - 1 2    

∂ φ ∂ y = 2 y - 1 x - 1 2 + y - 1 2 + 2 ⋅ x - 1 x - 1 + y - 1 2          

Fator integrante:

μ = 2 x - 1 2 + y - 1 2

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