30. Vimos no Exercício 12 desta seção que
Definem implicitamente soluções da equação
Faça
Calcule e . Determine, então, um fator integrante para .
Passo 1
Bem, aqui temos um serviço a fazer. Primeiro, encontrar as derivadas parciais para então depois encontrar o fator integrante (você vai ver como vai ser tranquilo fazer isso depois de encontrar essas derivadas ).
Então vamos botar a mão na massa? Começando pela derivada em relação a :
Beleza, então derivando essas funções usando a regra da cadeia...
YUP! Agora vamos calcular essas demais derivadas implícitas, começando pela mais fácil, a primeira:
Em relação a essa segunda, veja que é uma constante perante aderivada em relação a , logo ele pode vazar desses colchetes:
SHOW! Então simplificando um pouquinho...
Passo 2
UFA! Que trabalhão. Calma, ainda falta essa derivada em relação a :
Basicamente os cálculos serão os mesmos até...
AQUI! Afinal, temos que derivar em relação a agora e não a , veja:
Passo 3
Com essas derivadas calculadas, podemos partir para a segunda etapa desse exercício que é encontrar qual foi o Fator integrante usado para resolver a EDO exata (redutível a exata, para sermos mais honestos).
Pois bem, de acordo com a teoria, a solução dessa EDO é essa função aqui igualada a uma constante :
Ao mesmo temo que a solução de uma EDO exata seja calculada seguindo essa equação aqui:
Derivando de ambos os lados em relação à :
SHOW! Acabamos de encontrar que é essa derivada de no passo :
Comparando com a EDO exata:
Observamos que o fator integrante é esse termo que multiplica a função :
Sacou?
Resposta
Fator integrante: