Determine uma solução que satisfaça as condições dadas.

l ) d x d t = x + t x - t ,   x 0 = 1

Passo 1

Para resolver essa equação, primeiramente substituiremos x = s t , e, ao derivar em função de t , temos:

d x d t = d s d t t + s

Agora, substituindo na equação original:

d s d t t + s = s t + t s t - t

Passo 2

No lado direito da equação, colocaremos t em evidência, obtendo:

d s d t t + s = t ⋅ ( s + 1 ) t ⋅ ( s - 1 )

Assim, poderemos cancelar o t , e, passando s para o outro lado subtraindo, teremos:

d s d t t = s + 1 s - 1 - s

Passo 3

Agora, faremos a subtração do lado direito, obtendo:

d s d t t = s + 1 - s 2 + s s - 1

Simplificando:

d s d t t = 1 + 2 s - s 2 s - 1

Passo 4

Agora, separando as variáveis, temos que:

s - 1 ⋅ d s 1 + 2 s - s 2 = d t t

Integrando dos dois lados, obteremos:

- 1 2 ⋅ ln ⁡ 1 + 2 s - s 2 = ln ⁡ t + c

Passo 5

Reorganizando a equação, temos que:

ln ⁡ 1 + 2 s - s 2 = - 2 ln ⁡ t - 2 c

Aplicando exponencial dos dois lados, teremos:

1 + 2 s - s 2 = e - 2 ln ⁡ t - 2 c

Passo 6

Como x = s t , substituindo, teremos:

1 + 2 ⋅ x t - x 2 t 2 = e - 2 ln ⁡ t - 2 c

Ou seja,

t 2 + 2 ⋅ t ⋅ x - x 2 t 2 = e - 2 c ⋅ 1 t 2

t 2 + 2 ⋅ t ⋅ x - x 2 = e - 2 c

Passo 7

Aplicando a condição inicial: x 0 = 1

0 2 + 2 ⋅ 0 ⋅ 1 - 1 2 = e - 2 c

e - 2 c = - 1

Substituindo na equação, temos que:

t 2 + 2 ⋅ t ⋅ x - x 2 = - 1

Resposta

A solução da equação é dada por:

t 2 + 2 ⋅ t ⋅ x - x 2 + 1 = 0

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