7. Considere a equação

y ' ' - x 2 + 1 y = 0

Seja y = f x ,   x ∈ R , uma solução que existam números reais x 0 e x 1 tais que f x 0 = 0 e f x 1 ≠ 0 . Prove que x 0 é ponto de inflexão.

Passo 1

Bem, sabemos que para um valor se ponto de inflexão, essa condição tem que ser satisfeita:

f ' ' x 0 = 0

Ora, sabemos que...

y ' ' - x 2 + 1 y = 0   →

Então...

f ' ' x 0 - x 0 2 + 1 f x 0 = 0

Como f x 0 = ,   a derivada necessariamente vai ter que ser 0 :

f ' ' x 0 = 0

Passo 2

Essa é uma condição necessária, mas não é a única, afinal temos que garantir que a função não é nula sempre! Como sabemos que f x 1 ≠ 0 ...

f ' ' x 1 - x 1 2 + 1 f x 1 = 0   →

f ' ' x 1 = x 1 2 + 1 f x 1

Então a segunda derivada não pode ser 0 .

Logo, x 0 é de fato um ponto de inflexão!

Resposta

Questão de demonstração.

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