8. Considere a equação . Seja , a solução que satisfaz as condições iniciais e . Prove que
Passo 1
Repare que essa EDO é a mesma EDO do exercício de número 6:
A diferença é que aqui temos e não . Então a solução que encontramos lá foi:
No nosso caso, a solução será...
Passo 2
Veja então que antes de verificarmos o valor do limite, precisamos encontrar os valores de e e verificar os sinais deles, principalmente!
Aplicando a primeira condição...
Então...
Aplicando a segunda condição, mas antes derivando primeiro:
Poxa, observe que as séries de e de são as mesmas:
Eu chamei de e de pra simplificar a nossa vida! Repare que ele são positivos! Assim...
Passo 3
Podemos então concluir que a nossa solução será:
Como é positivo, quando aplicarmos o limite em , com certeza tem vai para o infinito, pois estamos falando de uma soma positiva e só o primeiro termo...
Já vai para o infinito! Com o somatório ele apenas aumenta a velocidade com que ele vai para , saca? Então de fato...
Resposta
Questão de demonstração.