8. Considere a equação x ¨ = t x . Seja x = x t ,   t ∈ R , a solução que satisfaz as condições iniciais x 1 = 1 e x ˙ 1 = 1 . Prove que

lim t → ∞ ⁡ x t = + ∞

Passo 1

Repare que essa EDO é a mesma EDO do exercício de número 6:

y ' ' - x y = 0

A diferença é que aqui temos x t e não y x . Então a solução que encontramos lá foi:

y x = a 0 + a 1 x + ∑ n = 1 ∞ a 0 3 n ⋅ 3 n - 1 ⋅ 3 n - 3 … 5 ⋅ 3 ⋅ 2 x 3 n + ∑ n = 1 ∞ a 1 3 n + 1 ⋅ 3 n ⋅ 3 n - 2 … 6 ⋅ 4 ⋅ 3 x 3 n + 1  

No nosso caso, a solução será...

x t = a 0 + a 1 t + ∑ n = 1 ∞ a 0 3 n ⋅ 3 n - 1 ⋅ 3 n - 3 … 5 ⋅ 3 ⋅ 2 t 3 n + ∑ n = 1 ∞ a 1 3 n + 1 ⋅ 3 n ⋅ 3 n - 2 … 6 ⋅ 4 ⋅ 3 t 3 n + 1

Passo 2

Veja então que antes de verificarmos o valor do limite, precisamos encontrar os valores de a 0 e a 1 e verificar os sinais deles, principalmente!

Aplicando a primeira condição...

x 1 = 1 = a 0 + a 1 + ∑ n = 1 ∞ a 0 3 n ⋅ 3 n - 1 ⋅ 3 n - 3 … 5 ⋅ 3 ⋅ 2 + ∑ n = 1 ∞ a 1 3 n + 1 ⋅ 3 n ⋅ 3 n - 2 … 6 ⋅ 4 ⋅ 3

Então...

1 = a 0 1 + ∑ n = 1 ∞ 1 3 n ⋅ 3 n - 1 ⋅ 3 n - 3 … 5 ⋅ 3 ⋅ 2 + a 1 1 + ∑ n = 1 ∞ 1 3 n ⋅ 3 n - 1 ⋅ 3 n - 3 … 5 ⋅ 3 ⋅ 2 = 0

Aplicando a segunda condição, mas antes derivando primeiro:

x ' t = a 1 + ∑ n = 1 ∞ a 0 3 n 3 n ⋅ 3 n - 1 ⋅ 3 n - 3 … 5 ⋅ 3 ⋅ 2 t 3 n - 1 + ∑ n = 1 ∞ a 1 3 n + 1 3 n + 1 ⋅ 3 n ⋅ 3 n - 2 … 6 ⋅ 4 ⋅ 3 t 3 n

x ' 1 = a 1 1 + ∑ n = 1 ∞ 1 3 n ⋅ 3 n - 2 … 6 ⋅ 4 ⋅ 3 + a 0 ∑ n = 1 ∞ 1 3 n - 1 ⋅ 3 n - 3 … 5 ⋅ 3 ⋅ 2

Poxa, observe que as séries de x e de x ' são as mesmas:

∑ n = 1 ∞ 1 3 n ⋅ 3 n - 1 ⋅ 3 n - 3 … 5 ⋅ 3 ⋅ 2 = ∑ n = 1 ∞ 1 3 n - 1 ⋅ 3 n - 3 … 5 ⋅ 3 ⋅ 2 = k 1

∑ n = 1 ∞ a 1 3 n + 1 3 n + 1 ⋅ 3 n ⋅ 3 n - 2 … 6 ⋅ 4 ⋅ 3 t 3 n = ∑ n = 1 ∞ 1 3 n ⋅ 3 n - 2 … 6 ⋅ 4 ⋅ 3 = k 2

Eu chamei de k 1 e de k 2 pra simplificar a nossa vida! Repare que ele são positivos! Assim...

x 1 = 1 = a 0 1 + k 1 + a 1 1 + k 2

x ' 1 = 1 = a 0 k 1 + a 1 1 + k 2

0 = a 0 1 + k 1   →

a 0 = 0

a 1 = 1 1 + k 2

Passo 3

Podemos então concluir que a nossa solução será:

x t = a 0 + a 1 t + ∑ n = 1 ∞ a 0 3 n ⋅ 3 n - 1 ⋅ 3 n - 3 … 5 ⋅ 3 ⋅ 2 t 3 n + ∑ n = 1 ∞ a 1 3 n + 1 ⋅ 3 n ⋅ 3 n - 2 … 6 ⋅ 4 ⋅ 3 t 3 n + 1   →

x t = 1 1 + k 2 t + ∑ n = 1 ∞ 1 1 + k 2 3 n + 1 ⋅ 3 n ⋅ 3 n - 2 … 6 ⋅ 4 ⋅ 3 t 3 n + 1   →

Como k 2 é positivo, quando aplicarmos o limite em t , com certeza x tem vai para o infinito, pois estamos falando de uma soma positiva e só o primeiro termo...

1 1 + k 2 t

Já vai para o infinito! Com o somatório ele apenas aumenta a velocidade com que ele vai para + ∞ , saca? Então de fato...

lim t → ∞ ⁡ x t = + ∞

Resposta

Questão de demonstração.

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