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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 13.8 - Ex. 9

8. Considere a equação x 4 y ' ' - y = 0 . Tente soluções da forma

α + β x + ∑ k = 1 ∞ a k x - k

Conclua que a solução geral é:

y = x k 1 e 1 x + k 2 e - 1 x

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer aqui é pegar a nossa solução em forma de série:

y = α + β x + ∑ k = 1 ∞ a k x - k   →

E derivá-la...

y ' = β + ∑ k = 1 ∞ - k a k x - k - 1   →

y ' ' = ∑ k = 1 ∞ - - k - 1 k a k x - k - 2 =

∑ k = 1 ∞ k + 1 k a k x - k - 2

Veja que o início dos somatórios não muda, pois estamos lidando com x - k   e não com x k como estávamos acostumados.

Passo 2

Beleza! Com isso podemos substituir na EDO:

x 4 y ' ' - y = 0     →

x 4 ∑ k = 1 ∞ k + 1 k a k x - k - 2 + α + β x - ∑ k = 1 ∞ a k x - k = 0   →

Passando o x 4 para dentro da EDO...

∑ k = 1 ∞ k + 1 k a k x - k + 2 + α + β x - ∑ k = 1 ∞ a k x - k = 0   →

Bem, como o nosso intuito é juntar esses somatórios, podemos fazer o último somatório ter o mesmo x - k + 2 , fazendo uma mudança de variável:

- m + 2 = - k   →

k = m - 2

Então...

α + β x + ∑ k = 1 ∞ k + 1 k a k x - k + 2 - ∑ m - 2 = 1 ∞ a m - 2 x - m + 2 = 0   →

Como m é só o nome do índice, podemos nomeá-lo de k novamente:

α + β x + ∑ k = 1 ∞ k + 1 k a k x - k + 2 - ∑ k = 3 ∞ a k - 2 x - k + 2 = 0   →

Antes de colocarmos sobre o mesmo somatório, temos que fazer com que eles comecem do mesmo k = 3 . Para isso, basta desmembrar o primeiro somatório até chegar lá substituindo os k ’s anteriores:

α + β x + 2 1 a 1 x + 3 2 a 2 + ∑ k = 3 ∞ k + 1 k a k x - k + 2 - ∑ k = 3 ∞ a k - 2 x - k + 2 = 0   →

Agora sim, colocando no mesmo somatório...

α + 3 ⋅ 2 a 2 + β + 2 a 1 x + ∑ k = 3 ∞ k + 1 k a k - a k - 2 x - k + 2 = 0   →

Pois bem, para isso ser igual a 0 , todos os termos dos colchetes devem ser 0 , já que x ≠ 0 :

α + 3 ⋅ 2 a 2 = 0  

β + 2 a 1 = 0

k + 1 k a k - a k - 2 = 0

E essa é a lei de recorrência!

Passo 3

Para resolver isso, veja que...

a 2 = - α 3 ⋅ 2

a 1 = - β 2

Pela lei de recorrência...

k + 1 k a k - a k - 2 = 0   →

k + 1 k a k = a k - 2   →

a k = a k - 2 k + 1 k  

Lembre-se de que ao chegar aqui, devemos substituir valores até encontramos um padrão, então vamos lá:

k = 3               →                     a 3 = a 1 3 + 1 3 = - β 4 ⋅ 3 ⋅ 2

k = 4               →                     a 4 = a 2 4 + 1 4 = - α 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2

k = 5               →                     a 5 = a 3 5 + 1 5 = - β 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2

k = 6               →                     a 6 = a 4 6 + 1 6 = - α 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2

Perceba que podemos encontrar esses termos aqui mesmo sem substituir:

a 7 = - β 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2

a 8 = - α 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2

Isso significa que já podemos generalizar! Para isso, vamos dividir o a em pares e ímpares:

a k = a 2 k = - 1 2 k + 1 ! α   a 2 k - 1 = - 1 2 k ! β

Passo 4

Beleza, sabemos que a resposta da EDO é essa aqui:

y = α + β x + ∑ k = 1 ∞ a k x - k   →

Separando em termos pares e ímpares também esse somatório aí...

y = α + β x + ∑ k = 1 ∞ a 2 k x - 2 k + ∑ k = 1 ∞ a 2 k - 1 x - 2 k - 1   →

y = α + β x - ∑ k = 1 ∞ 1 2 k + 1 ! α x - 2 k - ∑ k = 1 ∞ 1 2 k ! β x - 2 k - 1   →

y = α + β x - α x ∑ k = 1 ∞ 1 2 k + 1 ! x - 1 2 k + 1 - β x ∑ k = 1 ∞ 1 2 k ! x - 1 2 k  

Passo 5

Beleza! Então essa é a resposta em termos de somatórios. Temos que chegar agora na resposta em termos de exponenciais:

y = x k 1 e 1 x + k 2 e - 1 x

Repare que as séries que encontramos elas são parecidas com a série que define exponencial:

∑ k = 0 ∞ 1 k ! x - 1 k = e x - 1 = e 1 x

Mas tem um problema! Elas alternam entre pares e ímpares! O que a série de exponencial não faz! Então, para encontrar essas respostas em termos de exponencial, vamos ter que encontrar duas soluções LI e que possuam a exponenciais. Aí, o resultado final será uma composição linear delas, saca?

Passo 6

Para isso, vamos dar valores para α e β :

α = - 1     e       β = - 1

Assim...

y = α + β x - α x ∑ k = 1 ∞ 1 2 k + 1 ! x - 1 2 k + 1 - β x ∑ k = 1 ∞ 1 2 k ! x - 1 2 k   →

y = - 1 - x + x ∑ k = 1 ∞ 1 2 k + 1 ! x - 1 2 k + 1 + x ∑ k = 1 ∞ 1 2 k ! x - 1 2 k   →

A gente consegue aglutinar as séries em dois termos:

y = - 1 - x + x ∑ k = 1 ∞ 1 2 k + 1 ! x - 1 2 k + 1 + ∑ k = 1 ∞ 1 2 k ! x - 1 2 k   →

POXA! O que é a soma de termos pares com ímpares? SIM! É a série normal:

y = - 1 - x + x ∑ k = 2 ∞ 1 k ! x - 1 k  

Aqui ela ta começando de k = 2 porque é o menor valor de início da série par, saca? Agora sim podemos comparar com a série:

∑ k = 0 ∞ 1 k ! x - 1 k = e x - 1     →

Mas como ela começa de 0 , temos que desaglutinar alguns termos daí:

1 + x - 1 + ∑ k = 1 ∞ 1 k ! x - 1 k = e x - 1   →

∑ k = 2 ∞ 1 k ! x - 1 k = e x - 1 - 1 - 1 x

SHOW! Então substituindo...

y = - 1 - x + x e - x - 1 - 1 - 1 x   →

y = - 2 - 2 x + x e 1 x

Passo 7

Fazendo a mesma coisa agora, mas para termos alternados, tipo...

α = - 1     e       β = 1

Vamos ganhar...

y = α + β x - α x ∑ k = 1 ∞ 1 2 k + 1 ! x - 1 2 k + 1 - β x ∑ k = 1 ∞ 1 2 k ! x - 1 2 k   →

y = - 1 + x + x ∑ k = 1 ∞ 1 2 k + 1 ! x - 1 2 k + 1 - x ∑ k = 1 ∞ 1 2 k ! x - 1 2 k   →

y = - 1 + x + x ∑ k = 1 ∞ 1 2 k + 1 ! x - 1 2 k + 1 - ∑ k = 1 ∞ 1 2 k ! x - 1 2 k   →

OPA! Temos a mesma coisa de antes, porém agora com os termos trocados! Isso significa que a nossa série se alterna, dessa forma aqui:

y = - 1 + x + x ∑ k = 2 ∞ - 1 k + 1 k ! x - 1 k   →

y = - 1 + x - x ∑ k = 2 ∞ - 1 k k ! x - 1 k

Comparando então com a série de exponencial...

∑ k = 0 ∞ - 1 k k ! x - 1 k = e - x - 1     →

1 + ∑ k = 1 ∞ - 1 k k ! x - 1 k = e - x - 1   →

1 - 1 x + ∑ k = 2 ∞ 1 k ! x - 1 k = e - x - 1  

Substituindo...

y = - 1 + x - x e - x - 1 - 1 + 1 x   →

y = - 2 + 2 x - x e - 1 x

Passo 8

Como nas duas soluções anteriores obtivemos...

y = - 2 - 2 x + x e 1 x

y = - 2 + 2 x - x e - 1 x

Dessa soma, as únicas parcelas que são LI (linearmente independentes) são:

y = x e 1 x

y = x e - 1 x

Logo, elas são as duas soluções fundamentais e podemos escrever...

y = x k 1 e 1 x + k 2 e - 1 x

Resposta

y = α + β x - α x ∑ k = 1 ∞ 1 2 k + 1 ! x - 1 2 k + 1 - β x ∑ k = 1 ∞ 1 2 k ! x - 1 2 k   →

y = x k 1 e 1 x + k 2 e - 1 x

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