13. Olhando para o exercício anterior, resolva a equação:

C - x y ' ' + 2 - x y = 0 ,     x > 0 (Sugestão h x = x e - x )

Passo 1

No problema anterior, verificamos que se uma EDO tem esse formato aqui:

y ' ' = h ' ' x h x y

Então a solução geral dela é dada por:

y = c 1 h x + c 2 h x ∫ 1 h 2 x d x

Certo?

Então temos que encontrar primeiro quem é h x e depois integrar! Vamos nessa?

Passo 2

Veja que a EDO que estamos lidando aqui é:

x y ' ' + 2 - x y = 0   →

y ' ' = - 2 - x x y

Por comparação, se tomarmos...

h x = x e - x   →

Então podemos encontrar as derivadas (em especial a segunda) e verificar:

h ' x = e - x - x e - x →

h ' ' x = - e - x - e - x - x e - x →

h ' ' x = - 2 e - x + x e - x

AHA! De Fato a nossa EDO possui o formato que a gente quer, afinal...

y ' ' = h ' ' x h x y   →

y ' ' = - 2 e - x + x e - x x e - x y →

y ' ' = - 2 - x x y

Sendo assim...

Passo 3

A Resposta geral será dada por:

y = c 1 h x + c 2 h x ∫ 1 h 2 x d x   →

y = c 1 x e - x + c 2 x e - x ∫ 1 x e - x 2 d x   →

y = c 1 x e - x + c 2 x e - x ∫ 1 x 2 e - 2 x d x  

Como essa integral não possui uma primitiva analítica...

Resposta

y = c 1 x e - x + c 2 x e - x ∫ 1 x 2 e - 2 x d x  

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