6. Considere a função f dada por

f x = ∑ n = 1 ∞ x n - 1 n 3

  1. Qual o domínio de f ?
  2. Mostre que f é contínua.
  3. Justifique a igualdade:
  4. ∫ - 1 1 f ( x ) d x = ∑ k = 0 ∞ 2 2 k + 1 4

  5. Prove que, para todo x no domínio de f ,

f ' x = ∑ n = 1 ∞ n - 1 x n - 2 n 3

Passo 1

Letra (a)

Seja f x = ∑ n = 1 ∞ x n - 1 n 3

Aplicando o critério da razão,

L = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ x n n + 1 3 . n 3 x n - 1 = x

x < 1 a série ∑ n = 1 ∞ x n - 1 n 3 é convergente.

Se L=1, o critério nada revela, mas, para x = 1 . Temos as séries

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n 3   e   ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 ,

Que são convergentes.

O domínio de f é o conjunto de todos os x para os quais a série converge, ou seja, x ≤ 1 . Portanto,

D o m   f = [ - 1,1 ] .

Passo 2

Letra (b)

Seja f x = ∑ n = 1 ∞ x n - 1 n 3

. Temos que x n - 1 n 3 ≤ 1 n 3 ,   x ∈ - 1 , 1 .

Como a série harmônica ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 é convergente, segue, pelo critério M de Weierstrass que a série ∑ n = 1 ∞ x n - 1 n 3 é uniformemente convergente em [-1,1].

As funções f n x = x n - 1 n 3   são contínuas. Então, pelo Teorema 1 da seção 7.4, f é contínua.

Passo 3

Letra (c)

Como cada f n x = x n - 1 n 3 é contínua em [-1,1] e a série ∑ n = 1 ∞ x n - 1 n 3 converge uniformemente a f em [ - 1,1 ] , então , pelo Teorema 2 (integração termo a termo), temos

∫ - 1 1 f x d x = ∫ - 1 1 [ ∑ n = 1 ∞ x n - 1 n 3 ] d x = ∑ n = 1 ∞ ∫ - 1 1 x n - 1 n 3 d x =

∑ n = 1 ∞ x n n 4 - 1 1 = ∑ n = 1 ∞ 1 - - 1 n n 4 = 2 + 2 3 4 + 2 5 4 + … = ∑ k = 0 ∞ 2 2 k + 1 4 .

Logo,

∫ - 1 1 f x d x = ∑ k = 0 ∞ 2 2 k + 1 4 .

Passo 4

Letra (d)

Para todo x ∈ [ - 1,1 ] seja f x = ∑ n = 1 ∞ x n - 1 n 3 . A série ∑ n = 1 ∞ n - 1 x n - 2 n 3 converge uniformemente em [ - 1,1 ] pelo critério M de Weierstrass ( pois n - 1 x n - 2 n 3 ≤ n - 1 n 3 ≤ 1 n 2 ,   x ∈ [ - 1,1 ] ) .

Cada f x = x n - 1 n 3 é de classe C 1 em [-1,1]. Nestas condições, pelo teorema 3 da seção 7.4, para todo x ∈ - 1,1 , segue

f ' x = ∑ n = 1 ∞ f n ' x = ∑ n = 1 ∞ n - 1 x n - 2 n 3

Resposta

  1. D o m   f = [ - 1,1 ] .
  2. Demonstração
  3. Demonstração
  4. Demonstração
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