6. Considere a função dada por
- Qual o domínio de ?
- Mostre que é contínua.
- Justifique a igualdade:
- Prove que, para todo x no domínio de ,
Passo 1
Letra (a)
Seja
Aplicando o critério da razão,
a série é convergente.
Se L=1, o critério nada revela, mas, para . Temos as séries
Que são convergentes.
O domínio de é o conjunto de todos os x para os quais a série converge, ou seja, Portanto,
.
Passo 2
Letra (b)
Seja
Temos que
Como a série harmônica é convergente, segue, pelo critério M de Weierstrass que a série é uniformemente convergente em [-1,1].
As funções são contínuas. Então, pelo Teorema 1 da seção 7.4, é contínua.
Passo 3
Letra (c)
Como cada é contínua em [-1,1] e a série converge uniformemente a em , então , pelo Teorema 2 (integração termo a termo), temos
Logo,
Passo 4
Letra (d)
Para todo seja A série converge uniformemente em pelo critério M de Weierstrass ( pois
Cada é de classe em [-1,1]. Nestas condições, pelo teorema 3 da seção 7.4, para todo segue
Resposta
- .
- Demonstração
- Demonstração
- Demonstração