1. Determine o domínio da função f sendo f ( x ) igual a

c) sum_(n = 0)^(oo) (n x^n)/(n + 1)

Passo 1

sum_(n = 0)^(oo) (n x^n)/(n + 1) é uma série de potências com a_n = (n)/(n + 1)

R = underset(n -> oo)(lim) |(a_n)/(a_n + 1)| = underset(n -> oo)(lim) |(n ( n + 2 ))/((n + 1)^2)| = 1

A série converge para todo x in ] - 1,1 [ e diverge para |x| > 1 .

Se x = 1 , temos sum_(n = 0)^(oo) (n)/(n + 1) divergente, pois underset(n -> oo)(lim) (n)/(n + 1) != 0 .

Se x = - 1 temos a série alternada sum_(n = 0)^(oo) (n ( - 1 )^n)/(n + 1) que é divergente, pois underset(n -> oo)(lim) ((- 1)^n n)/(n + 1) não existe. Portanto, o domínio de f é ] - 1,1 [ .

Resposta

Portanto, o domínio de f é ] - 1,1 [ .

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