Considere a função f dada por:

f x = ∑ n = 1 + ∞ x n - 1 n 3

a) Qual o domínio de f ?

Passo 1

Aqui, aplicaremos o teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Sendo:

a n = x n - 1 n 3

E

a n + 1 = x n ( n + 1 ) 3

Temos:

lim n → ∞ ⁡ x n n + 1 3 x n - 1 n 3 = lim n → ∞ ⁡ x n n + 1 3 ⋅ n 3 x n - 1

lim n → ∞ ⁡ n 3 n + 1 3 ⋅ 1 x - 1 = lim n → ∞ ⁡ n 3 n + 1 3 ⋅ x = | x |

Passo 2

Se x < 1 , a série ∑ n = 1 + ∞ x n - 1 n 3 que converge.

Se x = 1 , temos as séries ∑ n = 1 + ∞ - 1 n - 1 n 3 e   ∑ n = 1 + ∞ 1 n 3 que convergem.

Se X > 1 , temos uma série divergente.

Desse modo, o domínio de f se dá por [-1, 1] que garantem a convergência da série.

Resposta

O domínio de f se dá por [-1, 1]

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