Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 2.1 - Ex. 22b

Considere a função f x = 1 x α , x ≥ 1 e α > 1 . Seja E > 1 um real dado.

Calcule a soma da série

∑ k = 0 ∞ E k   f E k

Passo 1

Queremos calcular a soma

∑ k = 0 ∞ E k   f E k

Como f x = 1 / x α , temos que

f E k = 1 E k α

Portanto,

E k   f E k = 1 E k α - 1 = E - k α - 1 = E α - 1 - k

Logo,

∑ k = 0 ∞ E k   f E k = ∑ k = 0 ∞ E α - 1 - k = ∑ k = 0 ∞ 1 E α - 1 k

Passo 2

Bom, sabemos que E > 1 e α > 1 . Portanto, α - 1 > 0 . Com isso, temos que

E α - 1 > 1 ⇒ 1 E α - 1 < 1

Portanto, vamos chamar

r = 1 E α - 1

Assim, a soma sopde ser escrita como

∑ k = 0 ∞ E k   f E k = ∑ k = 0 ∞ r k

Como r < 1 , trata-se de uma série geométrica:

∑ k = 0 ∞ r k = 1 1 - r

Com isso, temos que

∑ k = 0 ∞ E k   f E k = 1 1 - 1 E α - 1 = E α - 1 E α - 1 - 1

Resposta

∑ k = 0 ∞ E k   f E k = E α - 1 E α - 1 - 1

Ver Outros Exercícios desse livro