Enunciado
Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 8.4 - Ex. 20a
Seja um real dado, com . Prove que, para todo ,
Passo 1
Como , todos os termos do numerador são negativos:
Assim, podemos escrever
Se for par, o produto de um número par de termos negativos é positivo. Se for ímpar, o produto é negativo. O termo cuida disso!
Assim, podemos escrever
Vamos chamar
Assim, podemos escrever
Passo 2
Note que é uma sequência de termos positivos. Além disso, vimos no exercício 9a da seção 3.5 que
Além disso, note que
Assim,
Como , temos que
Portanto, a sequência é decrescente e temos , isso significa que a série alternada
é convergente. Usei o teste da série alternada para verificar isso. Mas note que podemos escrever então que a série
é convergente. Isso significa, que a série
é convergente para .
Passo 3
Para , temos que
Olhando para o exercício 6 da seção 3.5, vemos que a série
é divergente para . Com isso, a série de potências que estamos estudando não converge para .
Sabemos que ela converge no interior do intervalo, converge para (um extremo), mas não converge para . Com isso, temos que para
com .
Resposta
Demonstração.