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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 2.1 - Ex. 22c

Considere a função f x = 1 x α , x ≥ 1 e α > 1 . Seja E > 1 um real dado.

Mostre que

lim E → 1 ⁡ E - 1 ∑ k = 0 ∞ E k   f E k   = ∫ 1 ∞ 1 x α   d x

Passo 1

No item (b), mostramos que

∑ k = 0 ∞ E k   f E k = E α - 1 E α - 1 - 1

Além disso, vimos que a área do retângulo limitado pelas retas x = E k , x = E k + 1 , y = f E k e y = 0 é

A k = E k   E - 1   f E k = E - 1 E k α - 1

Vamos somar a aréa dos retângulos começando por k = 1 , isto é, em x = E :

A E = ∑ k = 1 ∞ A k = ∑ k = 1 ∞ E k   E - 1   f E k

Podemos colocar E - 1 em evidência:

A E = E - 1   ∑ k = 1 ∞ E k   f E k  

Passo 2

Vamos chamar x = E k e Δ x = E k   E - 1 , de modo que podemos escrever

A E = ∑ k = 0 ∞ f x   Δ x

No limite de Δ x → 0 , isso vira uma integral! Mas Δ x → 0 quando E → 1 , então podemos escrever

∫ 1 ∞ f x   d x = lim Δ x → 0 ⁡ ∑ k = 0 ∞ f x   Δ x = lim E → 1 ⁡ A E

Portanto,

lim E → 1 ⁡ E - 1 ∑ k = 0 ∞ E k   f E k   = ∫ 1 ∞ 1 x α   d x

O limite inferior da integral é 1 pois quando E → 1 , E 1 → 1 .

Passo 3

Podems fazer a conta na raça para verificar isso!

Com α > 1 :

∫ 1 ∞ 1 x α   d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t x - α   d x = lim t → ∞ ⁡ 1 1 - α t 1 - α - 1 = 1 α - 1

Agora vamos olhar para o limite em E . Sabemos que

∑ k = 0 ∞ E k   f E k = E α - 1 E α - 1 - 1

Assim,

E - 1 ∑ k = 0 ∞ E k   f E k = ( E - 1 ) E α - 1 E α - 1 - 1

Com isso,

lim E → 1 ⁡ E - 1 ∑ k = 0 ∞ E k   f E k   = lim E → 1 ⁡ E α - 1 ⋅ E - 1 E α - 1 - 1

Vamos olhar com cuidado para o termo

E - 1 E α - 1 - 1

Quando E → 1 , temos uma indeterminação do tipo 0 / 0 . Aplicando a regra de L’Hospital:

lim E → 1 ⁡ E - 1 E α - 1 - 1 = lim E → 1 ⁡ 1 α - 1   E α - 2 = 1 α - 1

Assim,

lim E → 1 ⁡ E α - 1 ⋅ E - 1 E α - 1 - 1 = lim E → 1 ⁡ E α - 1 ⋅ lim E → 1 ⁡ E - 1 E α - 1 - 1 = 1 ⋅ 1 α - 1

Portanto,

lim E → 1 ⁡ E - 1 ∑ k = 0 ∞ E k   f E k   = 1 α - 1

Vemos que, de fato,

lim E → 1 ⁡ E - 1 ∑ k = 0 ∞ E k   f E k   = ∫ 1 ∞ 1 x α   d x ,

pois

lim E → 1 ⁡ E - 1 ∑ k = 0 ∞ E k   f E k   = 1 α - 1             e             ∫ 1 ∞ 1 x α   d x = 1 α - 1

Resposta

Demonstração.

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