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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 8.4 - Ex. 19

Seja α > 0 um real dado, com α não-natural. Prove que, para todo x ∈ - 1 ,   1 ,

1 + x α = 1 + ∑ n = 1 ∞ α   α - 1 α - 2 … ( α - n + 1 ) n !   x n

Passo 1

Vamos seguir a sugestão dada no enunciado. Olhando para o exercício 6 da seção 3.5, vimos que a série

∑ n = 1 ∞ α   α - 1 α - 2 … α - n + 1 n !

é convergente se α > 0 e divergente se α < 0 . Portanto, para α > 0 , a série

∑ n = 1 ∞ α   α - 1 α - 2 … α - n + 1 n !

é absolutamente convergente! Note que essa série pode ser escrita como

∑ n = 1 ∞ α   α - 1 α - 2 … α - n + 1 n ! = ∑ n = 1 ∞ α   α - 1 α - 2 … α - n + 1 n !   R n

com R = 1 .

Passo 2

Vamos lembrar o resultado do exercício anterior (18 da seção 8.4): se ∑ n = 1 ∞ a n   R n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n   x n será uniformemente convergente em - R ,   R .

Usando esse resultado, vemos que para R = 1 , como

∑ n = 1 ∞ α   α - 1 α - 2 … α - n + 1 n ! = ∑ n = 1 ∞ α   α - 1 α - 2 … α - n + 1 n !   R n

é absolutamente convergente, segue que

∑ n = 1 ∞ α   α - 1 α - 2 … ( α - n + 1 ) n !   x n

é uniformemente convergente no intervalo - R ,   R , que é - 1 ,   1 pois R = 1 . Com isso, podemos afirmar que a soma é contínua em todo o intervalo, considerando os extremos x = ± 1 .

Passo 3

Por fim, olhamos para item (e) do exercício 14 da seção 8.4, que diz que para x ∈ ] - 1 ,   1 [ ,

1 + x α = 1 + ∑ n = 1 ∞ α   α - 1 α - 2 … ( α - n + 1 ) n !   x n

Mas como provamos que essa soma converge uniformemente, ela é contínua de modo que o resultado também deve valer nos extremos. Assim, concluímos que para x ∈ - 1 ,   1 , vale

1 + x α = 1 + ∑ n = 1 ∞ α   α - 1 α - 2 … ( α - n + 1 ) n !   x n

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro