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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 3.2 - Ex. 10

Seja - 1 < α < 0 um real dado. Mostre que

∑ k = 1 ∞ ln ⁡ k k - 1 - α = + ∞

Passo 1

O exercício pede para mostrar que a série diverge, isto é,

∑ k = 1 ∞ ln ⁡ k k - 1 - α = + ∞

Para isso, foi dado como sugestão usar o critério do limite com a série

∑ k = 1 ∞ c k

cujo termo geral é dada por

c k = ln ⁡ k + 1 k

Para isso, escrevemos o termo geral da série dada como

a k = ln ⁡ k k - 1 - α

Noss objetivo é calcular o limite

L = lim k → ∞ ⁡ a k c k

Assim,

L = lim k → ∞ ⁡ ln ⁡ k k - 1 - α ln ⁡ k + 1 k

Passo 2

Quando k → ∞ , temos que

k k - 1 - α → 1           e     k + 1 k → 1

Assim, como ln ⁡ 1 = 0 , o limite tende a uma indeterminação do tipo 0 / 0 . Com isso, podemos aplicar a regra de L’Hospital!

Note que

d d k ln ⁡ k k - 1 - α = 1 k k - 1 - α ⋅ k k - 1 - α ' = k - 1 - α k ⋅ k - 1 - α - k k - 1 - α 2

Portanto,

d d k ln ⁡ k k - 1 - α = - 1 + α k k - 1 - α

Analogamente,

d d x ln ⁡ k + 1 k = 1 k + 1 k ⋅ k + 1 k ' = k k + 1 ⋅ k - k + 1 k 2 = - 1 k k + 1

Aplicando a regra de L’Hospital:

L = lim k → ∞ ⁡ ln ⁡ k k - 1 - α ln ⁡ k + 1 k = lim k → ∞ ⁡ - 1 + α k k - 1 - α - 1 k k + 1 = lim k → ∞ ⁡ 1 + α k + 1 k - 1 - α

Passo 3

Podemos escrever ainda

L = 1 + α lim k → ∞ ⁡ k + 1 k - 1 - α = 1 + α

Como - 1 < α < 0 , temos que

L = 1 + α > 0

Pelo teste do limite, as séries ∑ k = 1 ∞ a k e ∑ k = 1 ∞ c k são ambas convergentes ou ambas divergentes.

Mas no exercício anterior (exercício 9), verificamos que

∑ k = 1 ∞ c k = ∑ k = 1 ∞ ln ⁡ k + 1 k = + ∞

Como ela diverge, então a série ∑ k = 1 ∞ a k também é divergente. Portanto, temos que

∑ k = 1 ∞ ln ⁡ k k - 1 - α = + ∞

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro