Seja - 1 < alpha < 0 um real dado. Mostre que

sum_(k = 1)^(oo) ln (k)/(k - 1 - alpha) = + oo

Passo 1

O exercício pede para mostrar que a série diverge, isto é,

sum_(k = 1)^(oo) ln (k)/(k - 1 - alpha) = + oo

Para isso, foi dado como sugestão usar o critério do limite com a série

sum_(k = 1)^(oo) c_k

cujo termo geral é dada por

c_k = ln (k + 1)/(k)

Para isso, escrevemos o termo geral da série dada como

a_k = ln (k)/(k - 1 - alpha)

Noss objetivo é calcular o limite

L = underset(k -> oo)(lim) (a_k)/(c_k)

Assim,

L = underset(k -> oo)(lim) (ln ((k)/(k - 1 - alpha)))/(ln ((k + 1)/(k)))

Passo 2

Quando k -> oo , temos que

(k)/(k - 1 - alpha) -> 1 e (k + 1)/(k) -> 1

Assim, como ln 1 = 0 , o limite tende a uma indeterminação do tipo 0 // 0 . Com isso, podemos aplicar a regra de L’Hospital!

Note que

(d)/(d k) (ln ((k)/(k - 1 - alpha))) = (1)/((k)/(k - 1 - alpha)) * ((k)/(k - 1 - alpha))^' = (k - 1 - alpha)/(k) * ((k - 1 - alpha - k)/((k - 1 - alpha)^2))

Portanto,

(d)/(d k) (ln ((k)/(k - 1 - alpha))) = - (1 + alpha)/(k (k - 1 - alpha))

Analogamente,

(d)/(d x) (ln ((k + 1)/(k))) = (1)/((k + 1)/(k)) * ((k + 1)/(k))^' = (k)/(k + 1) * ((k - (k + 1))/(k^2)) = - (1)/(k (k + 1))

Aplicando a regra de L’Hospital:

L = underset(k -> oo)(lim) (ln ((k)/(k - 1 - alpha)))/(ln ((k + 1)/(k))) = underset(k -> oo)(lim) (- (1 + alpha)/(k (k - 1 - alpha)))/(- (1)/(k (k + 1))) = underset(k -> oo)(lim) ((1 + alpha) (k + 1))/(k - 1 - alpha)

Passo 3

Podemos escrever ainda

L = (1 + alpha) underset(k -> oo)(lim) (k + 1)/(k - 1 - alpha) = 1 + alpha

Como - 1 < alpha < 0 , temos que

L = 1 + alpha > 0

Pelo teste do limite, as séries sum_(k = 1)^(oo) a_k e sum_(k = 1)^(oo) c_k são ambas convergentes ou ambas divergentes.

Mas no exercício anterior (exercício 9), verificamos que

sum_(k = 1)^(oo) c_k = sum_(k = 1)^(oo) ln ((k + 1)/(k)) = + oo

Como ela diverge, então a série sum_(k = 1)^(oo) a_k também é divergente. Portanto, temos que

sum_(k = 1)^(oo) ln (k)/(k - 1 - alpha) = + oo

Resposta

Demonstração.

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