Considere no plano um campo de forças conservativo F → x ,   y , com energia potencial

U x ,   y = x 2 + x y + y 2 ,

isto é, F → x ,   y = - ∇ U . Uma partícula é abandonada na posição 1 ,   1 com velocidade nula. Seja

x = x t y = y t           t ≥ 0

a posição da partícula no instante t .

Prove que, para todo t ≥ 0 ,

x ˙ 2 2 + y ˙ 2 2 + x 2 + x y + y 2 = 3

Conclua que a partícula permanece na região x 2 + x y + y 2 ≤ 3 , para todo t ≥ 0 . Que tipo de região é esta?

Passo 1

Essa é uma questão que vamos ter que lembrar um pouquinho de física:

F → = m   a → = m   x ¨ ,   y ¨

O enunciado não disse isso, mas vamos supor que a massa da partícula é m = 1 . Essa é a única forma de chegarmos no resultado pedido! Portanto,

F → = x ¨ ,   y ¨

Vamos tentar escrever as equações de movimento. Para isso, temos que achar F → :

F → x ,   y = - ∂ U ∂ x , ∂ U ∂ y = - 2 x + y ,   2 y + x

Ou ainda,

F → x ,   y = - 2 x - y ,   - x - 2 y

Logo,

x ¨ = - 2 x - y y ¨ = - x - 2 y

Vamos guardar essa duas equação equações!

Passo 2

Queremos mostrar que

x ˙ 2 2 + y ˙ 2 2 + x 2 + x y + y 2 = 3

Para isso, vamos chamar

E = x ˙ 2 2 + y ˙ 2 2 + x 2 + x y + y 2

Daqui a pouco você vai entender porque eu chamei esse termo de E . Queremos mostrar que esse termo é igual a 3 . Vamos provar primeiro que ele é constante. Para isso, basta tomar a derivada temporal:

d E d t = x ˙ ⋅ x ¨ + y ˙ ⋅ y ¨ + 2 x   x ˙ + x ˙ y + x y ˙ + 2 y   y ˙

Agora substituímos as equações do passo 1:

x ¨ = - 2 x - y y ¨ = - x - 2 y

Fazendo isso:

d E d t = - 2 x x ˙ - y x ˙ - x y ˙ - 2 y y ˙ + 2 x   x ˙ + x ˙ y + x y ˙ + 2 y   y ˙ = 0

Como a derivada é nula, temos que

E = c o n s t a n t e

Passo 3

Para calcular essa constante, basta usar a condição inicial:

x 0 = y 0 = 1               e             x ˙ 0 = y ˙ 0 = 0

Assim,

E = 0 + 0 + 1 2 + 1 ⋅ 1 + 1 2 = 3

Portanto,

x ˙ 2 2 + y ˙ 2 2 + x 2 + x y + y 2 = 3

Demonstramos o que foi pedido!

Passo 4

Agora vamos a interpretação física do problema! Note que E pode ser escrito como

E = x ˙ 2 2 + y ˙ 2 2 + U x ,   y = 3

O termo

x ˙ 2 2 + y ˙ 2 2

é a energia cinética e U x ,   y é a energia potencial. A soma dos dois é a energia mecânica E que é constate!

Passo 5

Note que podemos escrever:

x ˙ 2 2 + y ˙ 2 2 = 3 - x 2 - x y - y 2

Mas temos que

x ˙ 2 2 + y ˙ 2 2 ≥ 0

Logo,

3 - x 2 - x y - y 2 ≥ 0

Portanto,

x 2 + x y + y 2 ≤ 3

Trata-se da região interna a uma elipse:

O movimento da partícula é restrito a essa região.

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro