Considere no plano um campo de forças conservativo , com energia potencial
isto é, . Uma partícula é abandonada na posição com velocidade nula. Seja
a posição da partícula no instante .
Determine a posição da partícula no instante .
Passo 1
Essa é uma questão que vamos ter que lembrar um pouquinho de física:
O enunciado não disse isso, mas vamos supor que a massa da partícula é . Essa é a única forma de chegarmos no resultado pedido! Portanto,
Vamos tentar escrever as equações de movimento. Para isso, temos que achar :
Ou ainda,
Logo,
Passo 2
Isolando na primeira equação:
Derivando duas vezes:
Substituindo na segunda equação:
Logo,
Com isso,
A equação característica associada a essa EDO homogênea é
Fazendo :
Resolvendo a equação:
Como :
Portanto,
Passo 3
Como , temos que
Logo,
Derivando:
Como :
Logo,
Derivando de novo:
Como :
Como :
Portanto,
Derivando :
Como :
Portanto,