Considere no plano um campo de forças conservativo F → x ,   y , com energia potencial

U x ,   y = x 2 + x y + y 2 ,

isto é, F → x ,   y = - ∇ U . Uma partícula é abandonada na posição 1 ,   1 com velocidade nula. Seja

x = x t y = y t           t ≥ 0

a posição da partícula no instante t .

Determine a posição da partícula no instante t > 0 .

Passo 1

Essa é uma questão que vamos ter que lembrar um pouquinho de física:

F → = m   a → = m   x ¨ ,   y ¨

O enunciado não disse isso, mas vamos supor que a massa da partícula é m = 1 . Essa é a única forma de chegarmos no resultado pedido! Portanto,

F → = x ¨ ,   y ¨

Vamos tentar escrever as equações de movimento. Para isso, temos que achar F → :

F → x ,   y = - ∂ U ∂ x , ∂ U ∂ y = - 2 x + y ,   2 y + x

Ou ainda,

F → x ,   y = - 2 x - y ,   - x - 2 y

Logo,

x ¨ = - 2 x - y y ¨ = - x - 2 y

Passo 2

Isolando y na primeira equação:

y = - 2 x - x ' '

Derivando duas vezes:

y ' ' = - 2 x ' ' - x ' ' ' '

Substituindo na segunda equação:

- 2 x ' ' - x ' ' ' ' = - x - 2 - 2 x - x ' '

Logo,

- 2 x ' ' - x ' ' ' ' = - x + 4 x + 2 x ' '

Com isso,

x ' ' ' ' + 4 x ' ' + 3 x = 0

A equação característica associada a essa EDO homogênea é

p 4 + 4 p 2 + 3 = 0

Fazendo p 2 = k :

k 2 + 4 k + 3 = 0

Resolvendo a equação:

k = - 1             o u               k = - 3

Como p 2 = k :

p 1 = - i ,             p 2 = i ,             p 3 = - i 3             e           p 4 = i 3

Portanto,

x t = A cos ⁡ t + B   s e n   t + C cos ⁡ t 3 + D   s e n   t 3

Passo 3

Como x 0 = 1 , temos que

1 = A + C ⇒ C = 1 - A

Logo,

x t = A cos ⁡ t + B   s e n   t + 1 - A cos ⁡ t 3 + D   s e n   t 3

Derivando:

x ˙ t = - A   s e n   t + B cos ⁡ t - 3   1 - A   s e n   t 3 + 3   D cos ⁡ t 3

Como x ˙ 0 = 0 :

0 = B + D 3 ⇒ B = - D 3

Logo,

x t = A cos ⁡ t - D 3   s e n   t + 1 - A cos ⁡ t 3 + D   s e n   t 3

x ˙ t = - A   s e n   t - D 3 cos ⁡ t - 3   1 - A   s e n   t 3 + 3   D cos ⁡ t 3

Derivando de novo:

x ¨ t = - A cos ⁡ t + D 3   s e n   t - 3 1 - A cos ⁡ t 3 - 3 D   s e n   t 3

Como y = - 2 x - x ¨ :

y t = - A cos ⁡ t - 3 D 3   s e n   t + 1 - A cos ⁡ t 3 + D   s e n   t 3

Como y 0 = 1 :

1 = - A + 1 - A ⇒ A = 0

Portanto,

x t = - D 3   s e n   t + cos ⁡ t 3 + D   s e n   t 3

y t = - 3 D 3   s e n   t + cos ⁡ t 3 + D   s e n   t 3

Derivando y :

y ˙ t = - 3 D 3 cos ⁡ t - 3   s e n   t 3 + D 3 cos ⁡ t 3

Como y ˙ 0 = 0 :

0 = - 3 D 3 + D 3 = 0 ⇒ D = 0

Portanto,

x t = cos ⁡ t 3

y t = - 3   s e n   t 3

Resposta

x t = cos ⁡ t 3

y t = - 3   s e n   t 3

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