Uma partícula de massa m = 1 desloca-se no plano sob ação da força

F → x ,   y = y   i → + - x + 2 y   j →

Sabe-se que no instante t = 0 a partícula encontra-se na posição - 2 ,   0 e que, neste instante, a sua velocidade é - 1 ,   1 . Determine a posição da partícula no instante t .

Passo 1

Essa é uma questão que vamos ter que lembrar um pouquinho de física:

F → = m   a → = m   x ¨ ,   y ¨

Como m = 1 :

F → = x ¨ ,   y ¨

Assim,

y ,   - x + 2 y = x ¨ ,   y ¨

Portanto,

x ¨ = y y ¨ = - x + 2 y

Passo 2

Para resolver esse sistema, escrevemos:

y = x ¨ ⇒ y ¨ = d 4 x d t 4 = x ' ' ' '

Assim, substituindo na segunda equação:

x ' ' ' ' = - x + 2 x ' '

Ou ainda,

x ' ' ' ' - 2 x ' ' + x = 0

Essa EDO é homogênea com equação característica

p 4 - 2 p 2 + 1 = 0

Fazendo a substituição p 2 = k :

k 2 - 2 k + 1 = 0

Resolvendo essa equação, obtemos uma única solução:

k = 1

Como p 2 = k , obtemos as quatros soluções da equação característica:

p 1 = - 1 ,             p 2 = - 1 ,           p 3 = 1             e           p 4 = 1

Portanto, temos que

x t = A e - t + B t e - t + C e t + D t e t

Passo 3

Derivando uma vez, achamos que

x ˙ t = B - A e - t - B t e - t + C + D e t + D t e t

Derivando novamente:

x ¨ t = A - 2 B e - t + B t e - t + C + 2 D e t + D t e t

Como y = x ¨ :

y t = A - 2 B e - t + B t e - t + C + 2 D e t + D t e t

Assim,

y ˙ t = 3 B - A e - t - B t e - t + C + 3 D e t + D t e t

Passo 4

Das condições inicias, temos que

x 0 = - 2 ,               y 0 = 0 ,           x ˙ 0 = - 1               e             y ˙ 0 = 1

Assim,

A + C = - 2 B - A + C + D = - 1 A - 2 B + C + 2 D = 0 3 B - A + C + 3 D = 1

Isolando C na primeira equação:

C = - 2 - A

Substituindo nas outras três:

B - 2 A + D = 1 - 2 B + 2 D = 2 3 B - 2 A + 3 D = 3

Da segunda equação, tiramos

D = 1 + B

Substituindo nas outras duas:

2 B - 2 A = 0 6 B - 2 A = 0

Daí tiramos

A = B = 0

Logo,

D = 1         e         C = - 2

Portanto,

x t = - 2 e t + t e t

y t = t e t

Resposta

x t = - 2 e t + t e t

y t = t e t

Ver Outros Exercícios desse livro