Determine a solução do problema

(d^2 y)/(d x^2) + 2 (d y)/(d x) = 0 , y (0) = 1 e overset(˙)(y) (0) = 2

Passo 1

O exercício pede para reolver a EDO homogênea de segunda ordem

y^(' ') + 2 y^' = 0

Como os coeficientes são constantes, caímos na equação característica

p^2 + 2 p = 0

As soluções dessa equação são

p_1 = 0 e p_2 = - 2

Quando temos raízes reais distintas:

y (x) = A e^(p_1 x) + B e^(p_2 x)

Portanto,

y (x) = A e^(0 x) + B e^(- 2 x) = A + B e^(- 2 x)

Passo 2

Como y (0) = 1 , temos que

1 = A + B => B = 1 - A

Portanto,

y (x) = A + (1 - A) e^(- 2 x)

Logo,

overset(˙)(y) (x) = - 2 (1 - A) e^(- 2 x)

Como overset(˙)(y) (0) = 2 :

2 = - 2 (1 - A) => 1 - A = - 1 => A = 2

Portanto,

y (x) = 2 - e^(- 2 x)

Resposta

y (x) = 2 - e^(- 2 x)

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