Enunciado

Considere o problema em que α é uma constante dada.

Se α > 1, mostre que existe exatamente um autovalor negativo e que esse autovalor diminui quando a aumenta.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nessa questão, temos uma equação diferencial e precisamos aplicar os valores de contorno. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser determinar o formato da solução de função.

y ' ' x + λ y x = 0

Para λ = - μ ² :

y x = C 1 cosh ⁡ μ x + C 2 sinh ⁡ μ x

C 1 C 2 =   - tahn ⁡ μ =   - μ α

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

μ n = α tanh ⁡ μ n

λ n = α tanh ⁡ λ n

λ n α 1 =   - μ n α 1 2 <   - μ n α 2 2 = λ n α 2

λ n α 1 < λ n α 2

Resposta

λ n α 1 < λ n α 2

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