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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.4 - Ex. 23

Em cada um dos problemas de 21 a 28:

Determine uma forma adequada para Y(t) para usar o método dos coeficientes indeterminados.

Use um sistema de álgebra computacional para encontrar uma solução particular da equação dada.

y ' ' - 5 y ' + 6 y = e t cos ⁡ 2 t + e 2 t 3 t + 4 sen ⁡ t  

Passo 1

(a) Determine a equação característica substituindo y ' ' por r 2 , y ' por r   e y por 1 na equação diferencial:

r 2 - 5 r + 6   =   0

Determinando as raízes, podemos aplicar em Bhaskara:

r = 5 ± - 5 2 - 4 ( 1 ) ( 6 ) 2 ( 1 )

r 1 = 2

r 2 = 3

A solução homogênea é então a soma de dois termos exponenciais com essas raízes no poder:

y t = c 1 e 2 t + c 2 e 3 t

Passo 2

A solução específica contém os termos de e t cos ⁡ 2 t + e 2 t 3 t + 4 sen ⁡ t   .

Vamos usar como base a tabela 3.5.1 do capítulo 3 (seção 5), e analisaremos os casos equivalentes mostrados na tabela, onde são apresentados 3 casos, temos aqui:

Caso 3: P n t e α t ( sem ⁡ β t   o u   cos ⁡ β t ) = e α t A o t n + A 1 t n - 1 + … + A n sem ⁡ β + e α t B o t n + B 1 t n - 1 + … + B n cos ⁡ β t :

Nós temos cos ⁡ 2 t , onde β = 2 , n = 0 e α = 1 :

Y 1 = e t ( A co s ⁡ 2 t + B s en ⁡ 2 t )

Caso 3: P n t e α t ( sem ⁡ β t   o u   cos ⁡ β t ) = e α t A o t n + A 1 t n - 1 + … + A n sem ⁡ β + e α t B o t n + B 1 t n - 1 + … + B n cos ⁡ β t :

Nós temos sen ⁡ t , onde β = 1 , n = 1 e α = 2 :

Y 2 = D o t + D 1 e 2 t sin ⁡ t + ( E o t + E 1 ) e 2 t cos ⁡ t

A solução Y será dada por: Y = Y 1 + Y 2

Y = e t ( A cos ⁡ 2 t + B sen ⁡ 2 t ) + D o t + D 1 e 2 t sin ⁡ t + ( E o t + E 1 ) e 2 t cos ⁡ t

Passo 3

Podemos encontrar as raízes computacionalmente ultilizando um software simples online (como é o caso do Wolfram Alpha e Symbolab). As raízes encontradas são :

A = - 1 20 ;   B = - 3 20

D 0 = - 3 2 ; D 1 = - 5 ;

E 0 = 3 2   e   E 1 = 1 2

Resposta

(a) Y = e t ( A cos ⁡ 2 t + B sen ⁡ 2 t ) + D o t + D 1 e 2 t sin ⁡ t + ( E o t + E 1 ) e 2 t cos ⁡ t  

(b) A = - 1 20 ;   B = - 3 20

D 0 = - 3 2 ; D 1 = - 5 ;

E 0 = 3 2   e   E 1 = 1 2

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Considere o problema - x y ' ' + k 2 y x = λ x y , y , y ' limitados quando x → 0 ,y 1 = 0 , onde k é um intervalo positivo.e) Encontre uma solução formal do problema não homogêneo - x y ' ' + k 2 x y
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