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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 2.1 - Ex. 17c

Considere a sequência α m ,     m ≥ 0 , com α 0 = 1 e α m > 0 para todo m , dada por

2 arctan ⁡ α m = arctan ⁡ α m - 1 .

Mostre que

α m = 1 2 m .

Passo 1

Nesse problema, vamos manipular a expressão dada no enunciado. Vamos utilizar o resultado do item a) desse mesmo exercício e, pode não parecer útil, multiplicaremos por 1. Sei que não parece muito intuitivo esse exercício, mas vamos ver que ele é bem mais fácil do que parece.

Passo 2

Utilizando o exercício a), temos que

α m = - 1 + 1 + α m - 1 2 α m - 1 .

Agora, como foi dito no passo 1, vamos multiplicar por 1. Ai vocês me perguntam: “mas por que diabos fazer isso?”. E eu te respondo: “confia, amigo, confia”. Isso nos vai ser muito útil. Vamos lá!

α m = - 1 + 1 + α m - 1 2 α m - 1 ⋅ 1 + 1 + α m - 1 2 1 + 1 + α m - 1 2 = 1 + α m - 1 2 - 1 α m - 1 1 + 1 + α m - 1 2

Ainda não da pra ver muito bem onde isso vai chegar, né? Vamos simplificar a equação:

α m = α m - 1 1 + 1 + α m - 1 2

Se colocarmos alguns valores para m , vamos ver um padrão. Começando com m = 1 , temos que:

α 1 = α 0 1 + 1 + α 0 2

Como α 0 = 1 , temos que nossa equação fica

a 1 = 1 1 + 2 < 1 2

Para m = 2 , temos

α 2 = α 1 1 + 1 + α 1 2 < 1 2 ⋅ 2

Seguindo fazendo esse processo, vamos chegar que

α m ≤ α 0 2 m = 1 2 m

Como queriamos e agora fazendo um pouco mais de sentido o motivo pelo qual multiplicamos por 1 no inicio.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro