Partindo da fórmula de Machin, mostre que

(pi)/(4) = 8 arctan (1)/(10) - 4 arctan (1)/(515) - arctan (1)/(239) .

Passo 1

Nesse problema, vamos utilizar os resultados do exemplo 9 e algumas considerações sobre as relações de arctan. Um resultado que será muito importante também para nós é que

tan (a + b) = (tan a + tan b)/(1 - tan a * tan b)

que, como no exemplo, nos servirá para encontrar um valor beta .

Passo 2

Bom, esse exercício a primeira vista parece ser muito difícil, mas como um parecido já foi resolvido no exemplo 9 conseguimos ter uma ideia de como resolver. Primeiro vamos partir de um resultado:

arctan (1)/(5) = 2 arctan (1)/(10) + arctan beta ( 1 )

Se subtrairmos arctan (1)/(10) de ambos os lados, ficamos com

arctan (1)/(5) - arctan (1)/(10) = arctan (1)/(10) + arctan beta .

Usando agora nosso resultado mostrado no passo 1, teremos que

tan (a + b) = (tan a + tan b)/(1 - tan a * tan b)

((1)/(5) - (1)/(10))/(1 + (1)/(5) * (1)/(10)) = ((1)/(10) + beta)/(1 - (beta)/(10)) -> (5)/(51) = (1 + 10 beta)/(10 - beta) -> beta = - (1)/(515) .

Substituindo agora em ( 1 ) , vamos ter que

arctan (1)/(5) = 2 arctan (1)/(10) - arctan (1)/(515) ( 2 )

Usando a formula de Machin, dada por:

(pi)/(4) = 4 arctan (1)/(5) - arctan (1)/(239) ( 3 )

Temos que ao substituir (2) e m (3) , chegamos em

(pi)/(4) = 4 * (2 arctan (1)/(10) - arctan (1)/(515)) - arctan (1)/(239) = 8 arctan (1)/(10) - 4 arctan (1)/(515) - arctan (1)/(239)

Como queriamos mostrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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