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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 2.1 - Ex. 17d

Considere a sequência α m ,     m ≥ 0 , com α 0 = 1 e α m > 0 para todo m , dada por

2 arctan ⁡ α m = arctan ⁡ α m - 1 .

Mostre que

π 4 = 2 m ∑ k = 0 ∞ - 1 k α m 2 k + 1 2 k + 1 .

Passo 1

Nesse problema, vamos utilizar apenas valores já obtidos nos itens anteriores desse exercício. Também vamos utilizar uma formula conhecida como formula de Gregory, dada por

arctan ⁡ a = ∑ k = 0 ∞ - 1 k ⋅ a 2 k + 1 2 k + 1 .

Passo 2

Bom, só pela equação dada no passo 1 já temos quase todo o exercício resolvido. Vamos agora invocar um resultado que obtemos no item b) desse exercício. Ele nos diz que

π 4 = 2 m arctan ⁡ α m

arctan ⁡ α m = π 2 m 4 .

Pela formula de Gregory, temos que

arctan ⁡ α m = ∑ k = 0 ∞ - 1 k ⋅ α m 2 k + 1 2 k + 1

Se substituirmos nosso valor para tangente na segunda equação, vamos ter que

π 4 ⋅ 1 2 m = ∑ k = 0 ∞ - 1 k ⋅ α m 2 k + 1 2 k + 1

Isolando π 4 vamos conseguir chegar no nosso tão desejado valor.

π 4 = 2 m ∑ k = 0 ∞ - 1 k ⋅ α m 2 k + 1 2 k + 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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