Utilizando a ) e o exercício 9 a ) , mostre que ln beta = 2 sum_(k = 0)^(oo) (alpha^(2 k + 1))/(2 k + 1) , com alpha = (beta - 1)/(beta + 1) .

Passo 1

Nesse problema vamos utilizar dois resultados: do exercício 10a e do 9ª, na qual nos é dado que:

ln (1 + alpha)/(1 - alpha) = 2 sum_(k = 0)^(oo) (alpha^(2 k + 1))/(2 k + 1) e x e r c i c i o 9 a )

beta = (1 + alpha)/(1 - alpha) e x e r c i c i o 10 a )

Esses são os dois resultados que vamos precisar para resolver. Vai ser bem mais fácil do que o enunciado faz parecer, então vamos lá!

Passo 2

Bem, como já dito no passo 1, vamos usar aqueles dois resultados dos exercícios anteriores. Olhando para eles já conseguimos ver como se dá o resultado final, não é? Temos pelo exercício 9a) que:

ln (1 + alpha)/(1 - alpha) = 2 sum_(k = 0)^(oo) (alpha^(2 k + 1))/(2 k + 1)

Só que temos pelo exercício 10a) que beta = (1 + alpha)/(1 - alpha) , e esse resultado temos ali dentro do logaritmo natural. Substituindo beta ali, vamos chegar que

ln beta = 2 sum_(k = 0)^(oo) (alpha^(2 k + 1))/(2 k + 1)

que é o resultado que queríamos...Viu? um pouco mais fácil do que parecia (tivemos sorte dessa vez kkk).

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro