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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 2.1 - Ex. 10b

Utilizando a ) e o exercício 9 a ) , mostre que ln ⁡ β = 2 ∑ k = 0 ∞ α 2 k + 1 2 k + 1 , com α = β - 1 β + 1 .

Passo 1

Nesse problema vamos utilizar dois resultados: do exercício 10a e do 9ª, na qual nos é dado que:

ln ⁡ 1 + α 1 - α = 2 ∑ k = 0 ∞ α 2 k + 1 2 k + 1         e x e r c i c i o   9 a )

β = 1 + α 1 - α           e x e r c i c i o   10 a )

Esses são os dois resultados que vamos precisar para resolver. Vai ser bem mais fácil do que o enunciado faz parecer, então vamos lá!

Passo 2

Bem, como já dito no passo 1, vamos usar aqueles dois resultados dos exercícios anteriores. Olhando para eles já conseguimos ver como se dá o resultado final, não é? Temos pelo exercício 9a) que:

ln ⁡ 1 + α 1 - α = 2 ∑ k = 0 ∞ α 2 k + 1 2 k + 1

Só que temos pelo exercício 10a) que β = 1 + α 1 - α , e esse resultado temos ali dentro do logaritmo natural. Substituindo β ali, vamos chegar que

ln ⁡ β = 2 ∑ k = 0 ∞ α 2 k + 1 2 k + 1

que é o resultado que queríamos...Viu? um pouco mais fácil do que parecia (tivemos sorte dessa vez kkk).

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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