Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 2.1 - Ex. 17a

Considere a sequência α m ,     m ≥ 0 , com α 0 = 1 e α m > 0 para todo m , dada por

2 arctan ⁡ α m = arctan ⁡ α m - 1 .

Mostre que

α m = - 1 + 1 + α m - 1 2 α m - 1

Passo 1

Nesse problema, vamos utilizar os resultados do exemplo 9 e algumas considerações sobre as relações de arctan. Um resultado que será muito importante também para nós é que

tan ⁡ a + b = tan ⁡ a + tan ⁡ b 1 - tan ⁡ a ⋅ tan ⁡ b

que, como no exemplo, nos servirá para encontrar um valor α m .

Passo 2

Bom, esse exercício a primeira vista parece ser muito difícil, mas como um parecido já foi resolvido no exemplo 9 conseguimos ter uma ideia de como resolver. Primeiro vamos partir de um resultado:

2 arctan ⁡ α m = arctan ⁡ α m - 1 .

Precissamos reescrever a equação como uma soma. Temos que se separarmos 2 arctan ⁡ α m , vamos ficar com

arctan ⁡ α m + arctan ⁡ α m = arctan ⁡ α m - 1

Usando agora nosso resultado mostrado no passo 1, teremos que

tan ⁡ a + b = tan ⁡ a + tan ⁡ b 1 - tan ⁡ a ⋅ tan ⁡ b

α m + α m 1 + α m 2 = α m - 1 → α m - 1 ⋅ α m 2 + 2 α m - α m - 1 = 0 .

Resolvendo por bhaskara, vamos ter que

α m = - b ± b 2 - 4 ⋅ a ⋅ c 2 a = - 2 ± 4 + 4 ⋅ α m - 1 2 α m - 1

Simplificando, ficamos com

α m = - 2 ± 4 + 4 ⋅ α m - 1 2 α m - 1 = - 1 ± 1 + α m - 1 α m - 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro