Utilizando o exercício anterior, mostre que

ln (p + 1) = ln p + 2 sum_(k = 0)^(oo) (1)/((2 k + 1) (2 p + 1)^(2 k + 1)) , p >= 1 .

Passo 1

Nesse problema vamos utilizar o resultado do exercício 10. Lá vimos que:

ln beta = 2 sum_(k = 0)^(oo) (alpha^(2 k + 1))/(2 k + 1) , alpha = (beta - 1)/(beta + 1) e x e r c i c i o 10 b )

beta = (1 + alpha)/(1 - alpha) e x e r c i c i o 10 a )

Esses são os dois resultados que vamos precisar para resolver. Vai ser bem mais fácil do que o enunciado faz parecer, então vamos lá!

Passo 2

Bem, como já dito no passo 1, vamos usar aqueles dois resultados dos exercícios anteriores. Precisamos encontrar nosso beta para manipularmos a equação, mas antes precisamos manipular um pouco o logaritmo até ficar próximo do resultado. Vamos reescreve-lo da seguinte forma:

ln (p + 1) = ln (p * (p + 1)/(p))

Vemos que nada mudou, certo? Agora vamos expandi-lo.

ln (p * (p + 1)/(p)) = ln p + ln ((1)/(p) + 1)

Já está um pouco mais parecido com o resultado que queremos, né? Chamando aquele segundo termo no logaritmo de beta , vamos ter que

beta = (1)/(p) + 1

alpha = (beta - 1)/(beta + 1) = (1)/(2 p + 1)

Substituindo agora na equação do passo 1 do exercício 10b), vamos ter que

ln p + 1 = ln p + ln beta = ln p + 2 sum_(k = 0)^(oo) (((1)/(2 p + 1))^(2 k + 1))/(2 k + 1) ->

-> ln p + 2 sum_(k = 0)^(oo) (1)/((2 k + 1) (2 p + 1)^(2 k + 1)) .

Como queríamos.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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