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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 2.1 - Ex. 11b

Utilizando o exercício anterior, mostre que

ln ⁡ p + 1 = ln ⁡ p + 2 ∑ k = 0 ∞ 1 2 k + 1 2 p + 1 2 k + 1 ,     p ≥ 1 .

Passo 1

Nesse problema vamos utilizar o resultado do exercício 10. Lá vimos que:

ln ⁡ β = 2 ∑ k = 0 ∞ α 2 k + 1 2 k + 1 ,   α = β - 1 β + 1         e x e r c i c i o   10 b )

β = 1 + α 1 - α           e x e r c i c i o   10 a )

Esses são os dois resultados que vamos precisar para resolver. Vai ser bem mais fácil do que o enunciado faz parecer, então vamos lá!

Passo 2

Bem, como já dito no passo 1, vamos usar aqueles dois resultados dos exercícios anteriores. Precisamos encontrar nosso β para manipularmos a equação, mas antes precisamos manipular um pouco o logaritmo até ficar próximo do resultado. Vamos reescreve-lo da seguinte forma:

ln ⁡ p + 1 = ln ⁡ p ⋅ p + 1 p

Vemos que nada mudou, certo? Agora vamos expandi-lo.

ln ⁡ p ⋅ p + 1 p = ln ⁡ p + ln ⁡ 1 p + 1

Já está um pouco mais parecido com o resultado que queremos, né? Chamando aquele segundo termo no logaritmo de β , vamos ter que

β = 1 p + 1

α = β - 1 β + 1 = 1 2 p + 1

Substituindo agora na equação do passo 1 do exercício 10b), vamos ter que

ln ⁡ p + 1 = ln ⁡ p + ln ⁡ β = ln ⁡ p + 2 ∑ k = 0 ∞ 1 2 p + 1 2 k + 1 2 k + 1 →

→ ln ⁡ p + 2 ∑ k = 0 ∞ 1 2 k + 1 2 p + 1 2 k + 1 .

Como queríamos.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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