Considere a série de potências ∑ n = 0 + ∞ a n x - x 0 n centrada em x 0 ≠ 0 . Prove que existem apenas três possibilidades:

I ) ou a série converge apenas para x = x 0 ;

I I ) ou a série converge para todo x ;

I I I ) ou existe R > 0 tal que a série converge para todo x ∈ | x 0 - R ,   x 0 + R | e diverge para x - x 0 > R . Nos extremos x 0 - R e x 0 + R a série poderá convergir ou não.

( S u g e s t ã o : F a ç a   u = x - x 0   e   a p l i q u e   o   t e o r e m a   d a   s e ç ã o )

Passo 1

Primeiramente aceitaremos a sugestão proposta.

Fazendo u = x - x 0 , temos:

∑ n = 0 + ∞ a n u n

Agora analisaremos cada caso proposto.

Passo 2

Caso I )

Se:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = + ∞

Teremos uma série convergente apenas para x = x 0 .

Passo 3

Caso I I )

Se:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 0

Teremos uma série absolutamente convergente para todo x .

Passo 4

Caso I I I )

Se:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

For um finito e diferente de zero, a série convergirá absolutamente para todo x tal que

x < lim n → ∞ ⁡ a n a n + 1 = R

Assim:

- R < | u | < R

Substituindo u = x - x 0 :

- R < | x - x 0 | < R

Rearranjando:

| x 0 - R | < | x | < | x 0 + R |

E divergirá para:

x > R

Assim:

u > R

x - x 0 > R

Desse modo, temos que a série converge para todo x ∈ | x 0 - R ,   x 0 + R | e diverge para x - x 0 > R .

Resposta

T e o r e m a

Ver Outros Exercícios desse livro