Considere a série de potências centrada em . Prove que existem apenas três possibilidades:
ou a série converge apenas para ;
ou a série converge para todo ;
ou existe tal que a série converge para todo e diverge para . Nos extremos e a série poderá convergir ou não.
(
Passo 1
Primeiramente aceitaremos a sugestão proposta.
Fazendo , temos:
Agora analisaremos cada caso proposto.
Passo 2
Caso )
Se:
Teremos uma série convergente apenas para .
Passo 3
Caso )
Se:
Teremos uma série absolutamente convergente para todo .
Passo 4
Caso )
Se:
For um finito e diferente de zero, a série convergirá absolutamente para todo tal que
Assim:
Substituindo :
Rearranjando:
E divergirá para:
Assim:
Desse modo, temos que a série converge para todo e diverge para .