Seja f : R -> R dada por

f (x) = sum_(n = 1)^(+ oo) (s e n n x)/(n^3)

b) Prove que

f^' (x) = sum_(n = 1)^(+ oo) (cos n x)/(n^2)

Passo 1

Temos que:

f_n (x) = (s e n n x)/(n^3)

Com n >= 1 , é de classe C^1 em R .

Passo 2

Derivando

((s e n n x)/(n^3))^' = (cos n x)/(n^2)

E como:

|(cos n x)/(n^2)| <= (1)/(n^2)

Com sum_(n = 1)^(+ oo) (1)/(n^2) , uma série harmônica convergente.

Seguimos o critério M de Weierstrass, definindo que a série das derivadas sum_(n = 1)^(+ oo) (cos n x)/(n^2) converge uniformemente em R .

Passo 3

Desse modo é provado o T e o r e m a 3 d a S e ç ã o 7.4

f^' (x) = (sum_(n = 1)^(+ oo) (s e n n x)/(n^3))^' = sum_(n = 1)^(+ oo) (cos n x)/(n^2)

Resposta

f^' (x) = (sum_(n = 1)^(+ oo) (s e n n x)/(n^3))^' = sum_(n = 1)^(+ oo) (cos n x)/(n^2)

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