5. Seja uma função. Dizemos que é um ponto fixo para T se Prove que se T for uma contração, então T admitirá um e somente um ponto fixo.
Passo 1
Seja uma contração.
Então existe um real com , tal que, quaisquer que sejam os reais ,
Passo 2
Pelo exercício 4, T admite um ponto fixo.
Suponha, agora, (por absurdo) que são pontos fixos para T. Então, por definição,
Como T é contração, seque que Como a e b são pontos fixos, temos
Daí, o que contraia a hipótese. Logo, se for uma contração, então T admitirá somente um ponto fixo.
Resposta
Demonstração.