5. Seja T : R → R uma função. Dizemos que a é um ponto fixo para T se a = T a . Prove que se T for uma contração, então T admitirá um e somente um ponto fixo.

Passo 1

Seja T : R → R uma contração.

Então existe um real λ , com 0 ≤ λ < 1 , tal que, quaisquer que sejam os reais x   e   y ,

T x - T y ≤ λ x - y .

Passo 2

Pelo exercício 4, T admite um ponto fixo.

Suponha, agora, (por absurdo) que a   e   b ,   a ≠ b , são pontos fixos para T. Então, por definição,

a = T a   e   b = T ( b )

Como T é contração, seque que T a - T ( b ) ≤ λ a - b . Como a e b são pontos fixos, temos

a - b ≤ λ a - b .   Daí, λ ≥ 1 , o que contraia a hipótese. Logo, se T for uma contração, então T admitirá somente um ponto fixo.

Resposta

Demonstração.

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