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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 3.4 - Ex. 8c

Considere a série ∑ n = 1 + ∞ a n , onde a n é a sequência que começa com a e cada termo é obtido multiplicando o anterior alternadamente por b ou por a:

a ,   b ,   a 2 b ,   a 2 b 2 ,   a 3 b 2 ,   a 3 b 3 , … com 0 < a < b < 1 .

c) Mostre que, para todo n ≥ 2 , a < a n n < b . Conclua desta desigualdade a convergência da série.

Passo 1

Meus queridos, inicialmente, sabemos que a sequência é alternada, portanto:

Para n ímpar: tal que a 1 , a 3 , a 5 … a n equivalem, respectivamente a b 1 , b 2 , b 3 … b n .

b n = a n b n - 1

Para n par: tal que a 2 , a 4 , a 6 … a n equivalem, respectivamente a c 1 , c 2 , c 3 … c n .

c n = a n b n

Então, precisamos calcular os dois limites.

Para n par:

lim n → + ∞ ⁡ a n b n n = a b

Para n ímpar:

lim n → + ∞ ⁡ a n + 1 b n n = l i m n → + ∞ a ∙ a n b n n = a b l i m n → + ∞ a 1 n = a b ∙ a 0 = a b

Logo, concluímos que tanto para n par quanto para n ímpar o limite converge para um valor comum.

Logo, sabemos que:

a < a b < b ⇒ a < a n n < b

Passo 2

Meus caros, como provamos que para todo n ≥ 2 ,   a < a n n < b < 1 .

Ao fazermos n → + ∞ :

L = lim n → + ∞ ⁡ a n n < 1

O que vai de encontro com o critério da raiz:

L = lim n → + ∞ ⁡ a n n

Onde,

a) L < 1 ⇒ ∑ k = 0 + ∞ a n é convergente.

b) L > 1   o u   L = + ∞ ⇒ ∑ k = 0 + ∞ a n é divergente.

c) L = 1 o critério não nos revela nada.

Como garantimos que lim n → + ∞ ⁡ a n n < 1 , logo, a série é convergente.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro