Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 3.5 - Ex. 6

Seja α um real dado, com α não-natural. Prove que a série

∑ n = 1 + ∞ α α - 1 α - 2 … ( α - n + 1 ) n !

É convergente para α > 0 e divergente para α < 0 .

Passo 1

Temos para essa questão o critério de Raabe! Nele, para uma série:

∑ n = 0 + ∞ a n

Fazemos um teste de convergência da seguinte forma:

L = lim n → ∞ ⁡ n 1 - a n + 1 a n  

Se L > 1 , a série é convergente.

Se L < 1 , a série é divergente.

Se L = 1 , a nada podemos dizer sobre a série.

Passo 2

Então vamos lá! Primeiro, temos que a nossa série se resume a:

∑ n = 1 + ∞ ( α - n + 1 ) n !

Logo, fazendo o teste para o critério de Raabe com a > 0 , a série nunca terá valores negativos. Aplicando o limite desse critério, temos:

L = lim n → ∞ ⁡ n 1 - a n + 1 a n  

L = lim n → ∞ ⁡ n 1 - ( α - n + 2 ) ( n + 1 ) ! ( α - n + 1 ) n !  

Passo 3

Resolvendo aquela bagunça dentro do parêntesis:

1 - ( α - n + 2 ) ( n + 1 ) ! ( α - n + 1 ) n ! = 1 - α - n + 2 n + 1 ! ⋅ n ! α - n + 1

= 1 - α - n + 2 α - n + 1 ⋅ n ! n + 1 !

= 1 - α - n + 2 α - n + 1 ⋅ 1 n + 1

Portanto,

L = lim n → ∞ ⁡ n 1 - ( α - n + 2 ) ( n + 1 ) ! ( α - n + 1 ) n !   → n 1 - α - n + 2 α - n + 1 ⋅ 1 n + 1

Agora esse limite ficou mais fácil hein? Fazendo esse limite, obtemos que a série vai pro infinito, logo a série converge, pos L > 1 . Para α < 0 a série só apresenta números negativos, teremos que a série vai divergir.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro