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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 3.5 - Ex. 3

Seja α um real dado, com 0 < α < 1 . Mostre que a série

∑ n = 1 + ∞ - 1 n + 1 α α - 1 α - 2 … ( α - n + 1 ) n !

é uma série convergente. (Cuidado! Esta série não é alternada.)

Passo 1

Meus príncipes e princesas!!!

Vamos fazer uso do critério de Raabe, para a série:

∑ n = 1 + ∞ a n

L = lim n → + ∞ ⁡ n 1 - a n + 1 a n

a) L > 1   o u   L = + ∞ ⇒ a série é convergente.

b) L < 1   o u   L = - ∞ ⇒ a série é divergente

c) L = 1 o critério é inconclusivo.

L = lim n → + ∞ n ( 1 - ⁡ - 1 n + 2 α α - 1 α - 2 … α - n + 1 α - n n + 1 ! . n ! - 1 n + 1 α α - 1 α - 2 … α - n + 1 )

lim n → + ∞ n ( 1 - ⁡ ( - 1 ) α - n n + 1 ) = lim n → + ∞ n ( ⁡ n + 1 + α - n n + 1 ) = lim n → + ∞ ⁡ n ( 1 + α ) n 1 + 1 n = L = 1 + α

Como sabemos, segundo o enunciado:

α > 0 ⇒ L = α + 1 > 1

Então, a série é convergente.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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