Enunciado
Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 3.4 - Ex. 8b
Considere a série , onde é a sequência que começa com a e cada termo é obtido multiplicando o anterior alternadamente por b ou por a:
com
b) Utilizando o Exercício 7, mostre que a série é convergente.
Passo 1
Meus príncipes e princesas, inicialmente, precisamos ter em mente o seguinte:
Por se tratar de uma série com multiplicações alternadas, ela irá possuir uma lei de formação para n ímpar e outra lei de formação para n par.
Para n ímpar: tal que equivalem, respectivamente a
Para n par: tal que equivalem, respectivamente a
Vamos calcular os limites.
Primeiramente, para n ímpar:
Agora, para n par:
Como os limites não tendem para um valor comum, dizemos que o limite não existe.
Passo 2
Como vamos nos basear no Exercício 7, ele nos informa que:
Onde .
Como sabemos, se:
Ao fazermos n tender ao infinito, chegamos ao limite:
Tal que, pelo critério da razão, se , então a série será convergente.
Como fizemos anteriormente, vamos calcular o limite para n ímpar e para n par.
Para n ímpar:
Para n par:
Sabemos que a soma dos termos ímpares irá convergir, assim como a soma dos termos pares também... mas como iremos concluir que a série é convergente?
Pela propriedade da soma de séries!
Se temos:
Onde, se a série genérica de termos é convergente e a série de termos também é convergente, logo, a sua soma também será, o que garente que a série de termos também será convergente.
Logo, a série será convergente.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)