Seja alpha um real dado, com 0 < alpha < 1 . Utilizando 3, conclua que

underset(n -> + oo)(lim) (alpha (alpha - 1) (alpha - 2) ... ( alpha - n + 1 ))/(n !) = 0

Passo 1

Meus lindos e minhas lindas, vamos lá?

Sendo a_n = (alpha (alpha - 1) (alpha - 2) ... ( alpha - n + 1 ))/(n !) a lei de formação da série:

sum_(n = 1)^(+ oo) a_n

Se garantirmos que a série é convergente, por consequência, garantiremos que underset(n -> + oo)(lim) (alpha (alpha - 1) (alpha - 2) ... ( alpha - n + 1 ))/(n !) = 0 .

Para tal, vamos fazer uso do critério de Raabe, para a série:

sum_(n = 1)^(+ oo) a_n

L = underset(n -> + oo)(lim) n (1 - (a_n + 1)/(a_n))

a) L > 1 o u L = + oo => a série é convergente.

b) L < 1 o u L = - oo => a série é divergente

c) L = 1 o critério é inconclusivo.

Vamos!

L = underset(n -> + oo)(lim) n ( 1 - (alpha (alpha - 1) (alpha - 2) ... ( alpha - n + 1 ) ( alpha - n ))/(( n + 1 ) !) * (n !)/(alpha (alpha - 1) (alpha - 2) ... (alpha - n + 1)) ) =

= underset(n -> + oo)(lim) n ( 1 - (( alpha - n ))/(n + 1) ) = underset(n -> + oo)(lim) n ( (2 n + 1 - alpha)/(n + 1) ) =

Agora, para resolvermos o limite com n -> + oo , vamos fazer o uso da regra do expoente:

= underset(n -> + oo)(lim) (n^2)/(n) (( 2 + ((1 - alpha)/(n)) ))/((1 + (1)/(n))) = 2 underset(n -> + oo)(l i m) n = L = + oo

Com isso, pelo critério, sabemos que a série é convergente.

Passo 2

Mas, ora ora senhores...

Garantimos que a série dada por

sum_(n = 1)^(+ oo) a_n

é convergente.

Sendo a_n :

a_n = (alpha (alpha - 1) (alpha - 2) ... ( alpha - n + 1 ))/(n !)

Por consequência:

underset(n -> + oo)(lim) a_n = underset(n -> + oo)(lim) (alpha (alpha - 1) (alpha - 2) ... ( alpha - n + 1 ))/(n !) = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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