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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 3.2 - Ex. 4

Considere a série ∑ k = 0 + ∞ a k , com a k ≥ 0 , para todo k . Suponha a k = 1 k α ⋅ b k , k ≥ p . Prove que se lim k → + ∞ ⁡ b k = + ∞ e se α ≤ 1 , então ∑ k = 0 + ∞ a k será divergente. (Sugestão: Utilize o critério do limite.)

Passo 1

Nesse problema iremos aplicar o teste do limite e manipular um pouco para chegarmos que se lim ⁡ b k = + ∞ teremos o resultado pedido. Vamos precisar usar também algumas propriedades de limite, então precisamos lembrar que

lim ⁡ a ⋅ b = lim ⁡ a ⋅ lim ⁡ b

lim ⁡ a b = lim ⁡ a lim ⁡ b .

Passo 2

Bom, vamos começar. Vamos aplicar para esse exercício o teste do limite. Temos que a k = 1 k α ⋅ b k e vamos considerar uma sequência c k qualquer, supondo que a mesma é divergente. Se fizermos agora a k / c k , vamos ter que:

lim k → + ∞ ⁡ 1 k α ⋅ b k c k

Se aplicarmos agora as propriedades de limites. Podemos escrever a expressão acima como

lim k → + ∞ ⁡ 1 k α ⋅ l i m k → + ∞ b k lim k → + ∞ ⁡ c k

Se supormos agora que lim k → + ∞ ⁡ b k = + ∞ , ainda teremos mais um caso para avaliar, pois se o expoente que aparecer em k for maior que um, teremos uma que nosso limite tenderá a zero, assim temos que necessariamente o expoente deve k ser menor ou igual a um, pois teremos uma série harmônica de ordem menor ou igual a um que é sempre divergente. E mais! Precisamos também que lim k → + ∞ ⁡ c k ≠ 0 . Ai poderemos dizer que

∑ k = 0 + ∞ a k

é divergente.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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