Enunciado
Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 13.1 - Ex. 11
10. Suponha que , seja uma solução diferente da solução nula da equação
Onde é suposta continua em e para todo , . Prove que poderá anular-se no máximo uma vez no intervalo .
Passo 1
Bem, aqui temos uma questão de teorema do valor médio misturado com a existência de nossa EDO. Vamos supor por absurdo, que a função anula pelo menos duas vezes nos pontos e ():
Se a função anula duas vezes, então vai ter um ponto no meio de e que a derivada vai ser também pelo teorema do valor médio:
Onde...
Passo 2
Beleza, mas pela EDO...
Como é solução e ...
Como, isso significa que...
Novamente pelo teorema do ponto médio, podemos dizer que existe um menor que tal que...
Logo, deve ser igual a , já que . Se escolhermos um ponto agora tal que
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)