Considere o sistema:

x ˙ = - x - y y ˙ = 2 x - 3 y

(c)Calcule

lim t → + ∞ ⁡ γ t

Onde γ ( t ) é a solução do item b.

Passo 1

Primeiro, vamos retomar as soluções encontradas anteriormente,

Encontramos que a solução geral para o sistema assume a seguinte forma:

x t = e - 2 t C 1 cos ⁡ t + C 2 sin ⁡ t y t = e - 2 t C 1 cos ⁡ t + sin ⁡ t + C 2 sin ⁡ t - cos ⁡ t

Passo 2

Após isso, no exercício b aplicamos a condição inicial dada, e obtivemos:

γ t = x t = e - 2 t 2 cos ⁡ t + sin ⁡ t y t = e - 2 t sin ⁡ t

Passo 3

Agora, vamos então aplicar o limite para quando t → + ∞ :

  1. Em x t :
  2. lim t → + ∞ ⁡ e - 2 t 2 cos ⁡ t + sin ⁡ t = 1 2 [ lim t → + ∞ ⁡ e - 2 t cos ⁡ t + lim t → + ∞ ⁡ e - 2 t sin ⁡ t ] = 0

  3. Em y t :  

lim t → + ∞ ⁡ ( e - 2 t sin ⁡ t ) = 0

Como sabemos, a função exponencial possui uma assíntota no eixo O x , de forma que quando t → + ∞ então e - t → 0

Portanto,

lim t → + ∞ ⁡ x t , y t = 0,0

Resposta

Portanto,

lim t → + ∞ ⁡ γ t = 0

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