Determine a solução que satisfaz as condições iniciais dadas. Determine a trajetória da solução encontrada.

(c) x ˙ = x y ˙ = - y     e     x 0 = 1 y 0 = 1

Passo 1

Temos um sistema de duas equações diferenciais lineares de 1º ordem, homogêneas com coeficientes constantes.

Lembre-se de que, seja uma EDL do tipo:

d u d v + α u = 0

A solução geral será:

u v = C e - α v ,   s e n d o   α = c o n s t a n t e   R e a l

Passo 2

Agora, perceba que no sistema dado:

x ˙ = x y ˙ = - y = x ˙ - x = 0 y ˙ + y = 0

Então, podemos obter trivialmente a solução geral para cada EDL:

x t = C 1 e t

E

y t = C 2 e - t

E então teremos a seguinte solução geral:

x y = C 1 1 0 e t + C 2 0 1 e - t

Obs: se “abrirmos” essa expressão matricial, chegamos em:

x t = C 1 e t + 0   C 2 e - t = C 1 e t y t = 0   C 1 e t + C 2 e - t = C 2 e - t

Passo 3

Agora, só nos resta aplicarmos as condições iniciais:

x 0 = C 1 e 0 = 1 y 0 = C 2 e - 0 = 1

Resolvendo o sistema, facilmente encontramos C 1 = 1   e   C 2 = 1

Portanto, a solução para o sistema será:

x y = 1 0 e t + 0 1 e - t

Resposta

Com isso, podemos concluir que a solução para o sistema dado possui a seguinte forma:

x t = e t y t = e - t

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