Considere o sistema:

x ˙ = - x - y y ˙ = 2 x - 3 y

(b) Desenhe a trajetória da solução γ t = x t , y t que satisfaz a condição inicial:

γ 0 = 1 2 ,   1

Passo 1

Primeiramente, vamos então retomar a solução geral para o sistema:

Na alternativa A dessa questão obtivemos:

x t = e - 2 t C 1 cos ⁡ t + C 2 sin ⁡ t y t = e - 2 t C 1 cos ⁡ t + sin ⁡ t + C 2 sin ⁡ t - cos ⁡ t

Passo 2

Logo, aplicando as condições iniciais:

x 0 = 1 2 y 0 = 1

Teremos:

e 0 C 1 cos ⁡ 0 + C 2 sin ⁡ 0 = 1 2 e 0 C 1 cos ⁡ 0 + sin ⁡ 0 + C 2 sin ⁡ 0 + cos ⁡ 0 = 1  

Dando uma simplificada nesse sistema:

C 1 = 1 2 C 1 + C 2 = 1

Trivialmente, C 1 =   C 2 = 1 2

Passo 3

Portanto, a solução geral:

x y = e - 2 t C 1 cos ⁡ t cos ⁡ t + sin ⁡ t + C 2 sin ⁡ t sin ⁡ t - cos ⁡ t

Assumirá a seguinte forma:

x y = e - 2 t 1 2 cos ⁡ t cos ⁡ t + sin ⁡ t + 1 2 sin ⁡ t sin ⁡ t - cos ⁡ t

Resposta

(b) então, a solução que satisfaz a condição inicial è:

γ t = x t = e - 2 t 2 cos ⁡ t + sin ⁡ t y t = e - 2 t sin ⁡ t

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