Considere o sistema:

{[[overset(˙)(x),=,-,x,-,y],[overset(˙)(y),=,2,x,-,3,y]])

  1. Determine a solução geral.

Passo 1

Temos um sistema de duas equações diferenciais lineares de 1º ordem, homogêneas com coeficientes constantes.

O sistema pode ser mais facilmente decifrado se tomarmos sua forma matricial.

Então:

[[[overset(˙)(x)],[overset(˙)(y)]]] = underset(A)(ubrace [[[a_11,a_12],[a_21,a_22]]]) . [[[x],[y]]]

Repare que realizando a multiplicação entre as matrizes:

{[[overset(˙)(x),=,a_11,x,+,a_12,y],[overset(˙)(y),=,a_21,x,+,a_22,y]])

Perceba então que no caso do nosso sistema,

A = [[[-,1,-,1],[2,0,-,3]]]

Podemos obter a equação característica para o sistema, lembrando que a mesma pode ser obtida tomando:

det (A - lambda I) = 0

Onde I é a matriz unitária

I = [[[1,0],[0,1]]]

E

lambda I = [[[lambda,0],[0,lambda]]]

Logo,

det (A - lambda I) = |[[-,1,-,lambda,-,1],[2,-,3,-,lambda]]| = 0

Passo 2

Teremos:

det (A - lambda I) = lambda^2 + 4 lambda + 5 = 0

Resolvendo essa equação, encontramos duas raízes, que também representam o que chamamos de “autovalores” da matriz A

Note que as raízes da equação serão complexas, do tipo: m = a +- b i , teremos então:

lambda = (- 4 +- sqrt(4 (- 1)))/(2) = - 2 +- 1 i

Lembrando que - 1 = i^2

Com a = - 2 e b = 1

A cada autovalor podemos encontrar um autovetor associado, seja então o autovetor v = [[[m],[n]]] e utilizando lambda = - 2 + i :

[[[-,1,-,underset(lambda)(ubrace (- 2 + i)),-,1],[2,-,3,-,underset(lambda)(ubrace (- 2 + i))]]] . [[[m],[n]]] = [[[0],[0]]]

Resolvendo essa operação matricial, chegamos no seguinte sistema:

{[[m,-,i,m,-,n,=,0],[2,m,-,n,-,n,i,=,0]])

Se adotarmos m = 1 então n = 1 - i

Ou seja, o autovalor dará uma solução do tipo:

[[[x],[y]]] = [[[1],[1,-,i]]] e^((- 2 + i) t)

Lembre-se de que:

e^((a + b i) t) = e^(a t) [cos (b t) + i sin (b t)]

Logo,

e^((- 2 + i) t) = e^(- 2 t) [cos (t) + i sin (t)]

Passo 3

Portanto,

[[[x],[y]]] = [[[1],[1,-,i]]] e^(- 2 t) [cos (t) + i sin (t)]

“abrindo” as matrizes na expressão acima:

{[[x,=,e^(- 2 t),cos (t),+,e^(- 2 t),i,sin (t)],[y,=,e^(- 2 t),(cos (t) + sin (t)),+,e^(- 2 t),,,i,(sin (t) - cos (t))]])

Então teremos a seguinte solução geral:

[[[x],[y]]] = e^(- 2 t) [C_1 [[[cos (t)],[cos (t),+,sin (t)]]] + C_2 [[[sin (t)],[sin (t),-,cos (t)]]]]

Resposta

  1. Concluímos que a solução geral para o sistema dado, assume a seguinte forma:

{[[x,(t),=,e^(- 2 t),[C_1 cos (t) + C_2 sin (t)]],[y,(t),=,e^(- 2 t),[C_1 (cos (t) + sin (t)) + C_2 (sin (t) - cos (t))]]])

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