Considere o sistema:
- Determine a solução geral.
Passo 1
Temos um sistema de duas equações diferenciais lineares de 1º ordem, homogêneas com coeficientes constantes.
O sistema pode ser mais facilmente decifrado se tomarmos sua forma matricial.
Então:
Repare que realizando a multiplicação entre as matrizes:
Perceba então que no caso do nosso sistema,
Podemos obter a equação característica para o sistema, lembrando que a mesma pode ser obtida tomando:
Onde é a matriz unitária
E
Logo,
Passo 2
Teremos:
Resolvendo essa equação, encontramos duas raízes, que também representam o que chamamos de “autovalores” da matriz A
Note que as raízes da equação serão complexas, do tipo: , teremos então:
Lembrando que
Com
A cada autovalor podemos encontrar um autovetor associado, seja então o autovetor e utilizando :
Resolvendo essa operação matricial, chegamos no seguinte sistema:
Se adotarmos então
Ou seja, o autovalor dará uma solução do tipo:
Lembre-se de que:
Logo,
Passo 3
Portanto,
“abrindo” as matrizes na expressão acima:
Então teremos a seguinte solução geral:
Resposta
- Concluímos que a solução geral para o sistema dado, assume a seguinte forma: