13. Considere o sistema

x ˙ = a 11 x + a 12 y y ˙ = a 21 x + a 22 y

A - Determine condições para que

lim t → + ∞ ⁡ x t = 0             e               lim t → + ∞ ⁡ y t = 0

B - Determine condições para que a solução x t ,   y t tenda para a origem quando t → + ∞ , e em espiral.

Passo 1

Poxa! Aqui temos uma questão de Retrato de fase! Afinal, queremos que o ponto x t ,   y t , vá para a origem em forma de espiral! Dessa forma aqui:

Para isso acontecer, a primeira condição é que ao resolver o sistema:

x ˙ = a 11 x + a 12 y y ˙ = a 21 x + a 22 y

Devemos encontrar senos e cossenos. E isso só acontece quando???? ISSO MESMO! Quando temos autovalores complexos da matriz de coeficientes:

A = a 11 a 12 a 21 a 22

Passo 2

Ora, autovalores de matrizes podem ser encontrados assim:

det ⁡ A - λ I = 0   →

Onde A - λ I nada mais é que subtrair λ da diagonal principal::

det ⁡ a 11 - λ a 12 a 21 a 22 - λ = 0     →

Calculando o determinante então...

a 11 - λ a 22 - λ - a 12 a 21 = 0     →

a 11 a 22 - a 11 λ - a 22 λ + λ 2 - a 12 a 21 = 0     →

λ 2 - a 11 + a 22 λ + a 11 a 22 - a 12 a 21 = 0    

Observe que chegamos à uma equação do segundo grau para λ . Se resolvermos usando Báskara...

Δ = a 11 + a 22 2 - 4 a 11 a 22 - a 12 a 21

E a solução então...

λ = a 11 + a 22 ± Δ 2   →

λ = a 11 + a 22 ± a 11 + a 22 2 - 4 a 11 a 22 - a 12 a 21 2

Repare então que para termos autovalores complexos o Δ deve ser negativo:

Δ < 0

Além disso, é importante que a 11 + a 22 seja negativo, pois só assim a espiral vai tender a 0 , como vimos na letra A deste exercício.

Passo 3

Podemos ir um pouco mais profundo, pois sabemos que Δ nada mais é do que:

Δ = a 11 + a 22 2 - 4 a 11 a 22 - a 12 a 21

Então...

a 11 + a 22 2 - 4 a 11 a 22 - a 12 a 21 < 0     →

a 11 + a 22 2 < 4 a 11 a 22 - a 12 a 21     →

a 11 a 22 - a 12 a 21 > a 11 + a 22 2 4

Observe que esse termo do lado esquerdo, nada mais é do que o determinante da matriz dos coeficientes:

A = a 11 a 12 a 21 a 22

Então...

det ⁡ A > a 11 + a 22 2 4

Essas então são as condições para ir em espiral:

  1. a 11 + a 22 < 0
  2. det ⁡ A > a 11 + a 22 2 4

Resposta

a 11 + a 22 < 0

det ⁡ A > a 11 + a 22 2 4

Ver Outros Exercícios desse livro