Determine a solução que satisfaz as condições iniciais dadas. Determine a trajetória da solução encontrada.
Passo 1
Temos um sistema de duas equações diferenciais lineares de 1º ordem, homogêneas com coeficientes constantes.
O sistema pode ser mais facilmente decifrado se tomarmos sua forma matricial.
Então:
Repare que realizando a multiplicação entre as matrizes:
Perceba então que no caso do nosso sistema,
Podemos obter a equação característica para o sistema, lembrando que a mesma pode ser obtida tomando:
Onde é a matriz unitária
E
Logo,
Passo 2
Encontraremos:
As raízes dessa equação são denominadas “autovalores” da matriz A.
São eles então:
Agora, podemos obter os autovetores associados à cada autovalor:
Tomando
Multiplicando as matrizes:
Se substituirmos
Podemos escrever:
Lembre-se que, por relações de Laplace quando temos uma raíz complexa:
Então:
Teremos:
Encontramos:
Não se esqueça de que: ou seja:
E então a solução geral para o sistema, será:
Passo 3
Aplicando as condições iniciais:
Obtemos:
Retomando na solução geral, teremos:
Resposta
Concluimos que a solução para o sistema dado será: