Determine a solução que satisfaz as condições iniciais dadas. Determine a trajetória da solução encontrada.

  1. x ˙ = - 2 y y ˙ = 3 x     e     x 0 = 1 y 0 = 1

Passo 1

Temos um sistema de duas equações diferenciais lineares de 1º ordem, homogêneas com coeficientes constantes.

O sistema pode ser mais facilmente decifrado se tomarmos sua forma matricial.

Então:

x ˙ y ˙ = a 11 a 12 a 21 a 22 ⏟ A .   x y

Repare que realizando a multiplicação entre as matrizes:

x ˙ = a 11 x + a 12 y y ˙ = a 21 x + a 22 y

Perceba então que no caso do nosso sistema,

A = 0 - 2 3 0

Podemos obter a equação característica para o sistema, lembrando que a mesma pode ser obtida tomando:

det ⁡ A - λ I = 0

Onde I   é a matriz unitária

I = 1 0 0 1

E

λ I = λ 0 0 λ

Logo,

det ⁡ A - λ I = 0 - λ - 2 3 0 - λ = 0

Passo 2

Encontraremos:

λ 2 + 6 = 0

As raízes dessa equação são denominadas “autovalores” da matriz A.

São eles então:

λ = 0 ± 6   i

Agora, podemos obter os autovetores associados à cada autovalor:

Tomando λ = 0 + 6 i

- 6 i - 2 3 - 6 i .   m n = 0 0

Multiplicando as matrizes:

- 6 i   m - 2 n = 0 3 m - 6 i   n = 0

Se substituirmos m = 1   e n t ã o   n = - 6   i 2

Podemos escrever:

x y = 1 - 6   i 2   .   e 0 + 6 i ⏞ λ   t

Lembre-se que, por relações de Laplace quando temos uma raíz complexa:

e ( a ± b i ) t = e a t C o s b t + i sin ⁡ b t

Então:

e 0 - 6 i t = e 0 t cos ⁡ 6 t + i sin ⁡ 6 i

Teremos:

x y = 1 - 6   i 2 cos ⁡ 6 t + i sin ⁡ 6 i  

Encontramos:

x = cos ⁡ 6 t + i sin ⁡ 6 t y = - 6   i 2 cos ⁡ 6 t + - 6   i 2 i sin ⁡ 6 t  

Não se esqueça de que: i 2 = - 1 , ou seja:

x = cos ⁡ 6 t + i sin ⁡ 6 t y = 6 2 sin ⁡ 6 t - 6   i 2 cos ⁡ 6 t

E então a solução geral para o sistema, será:

x y = C 1 cos ⁡ 6 t 6 2 sin ⁡ 6 t + C 2 sin ⁡ 6 t - 6 2 cos ⁡ 6 t

Passo 3

Aplicando as condições iniciais:

C 1 cos ⁡ 0 + C 2 sin ⁡ 0 = 1 C 1 6 2 sin ⁡ 0 - C 2 6 2 cos ⁡ 0 = 1

Obtemos:

C 1 = 1     e     C 2 = - 2 6

Retomando na solução geral, teremos:

x y = cos ⁡ 6 t 6 2 sin ⁡ 6 t - 2 6 sin ⁡ 6 t - 6 2 cos ⁡ 6 t

Resposta

Concluimos que a solução para o sistema dado será:

x t = cos ⁡ 6 t - 2 6   sin ⁡ 6 t y t = 6 2 sin ⁡ 6 t + cos ⁡ 6 t

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