Considere o sistema

x ˙ = x + y y ˙ = 2 x + 2 y

(b) Determine a solução geral do sistema.

Passo 1

Primeiramente lembre-se que todo sistema pode ser representado por sua forma matricial:

x ˙ y ˙ = a 11 a 12 a 21 a 22 ⏟ A x y

Repare que realizando a multiplicação entre as matrizes:

x ˙ = a 11 x + a 12 y y ˙ = a 21 x + a 22 y

Então no nosso caso:

A = 1 1 2 2

Podemos obter a equação característica para o sistema, lembrando que a mesma pode ser obtida tomando:

det ⁡ A - λ I = 0

Onde I   é a matriz unitária

I = 1 0 0 1

E

λ I = λ 0 0 λ

Logo,

det ⁡ A - λ I = 1 - λ 1 2 2 - λ = 0

Passo 2

Teremos uma equação característica da seguinte forma:

det ⁡ A - λ I = λ ( λ - 3 ) = 0

Então obtemos duas raízes, λ 1 = 0     e   λ 2 = 3 .

Definimos as raízes dessa equação como sendo nossos autovalores, seja então v = m n um autovetor para o autovalor λ 1 = 0 .

Chegamos a seguinte solução:

1 - 0 1 2 2 - 0 m n = 0

E no sistema:

m + n = 0 2 m + 2 n = 0

Se atribuirmos m = 1 , trivialmente encontramos n = - 1 e então:

x y = 1 - 1 e 0 t

x = 1 x = - 1

Agora, seja u = m n o autovetor para λ 2 = 3 :

1 - 3 1 2 2 - 3 m n = 0

E

- 2 m + n = 0 2 m - n = 0

Novamente atribuindo m = 1 encontramos n = 2 , então:

x y = 1 2 e 3 t

x = e 3 t y = 2 e 3 t

Passo 3

Somando essas duas soluções, chegamos a seguinte solução geral:

x y = C 1 1 - 1 + C 2 1 2 e 3 t

Ou na forma de sistema:

x t = C 1 + C 2   e 3 t y t = - C 1 + 2   C 2 e 3 t

Resposta

Portanto a solução geral para o sistema assume a seguinte forma:

x t = C 1 + C 2   e 3 t y t = - C 1 + 2   C 2 e 3 t

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