Calcule, underset(n -> + oo)(lim) s_n , sendo:

s_n = sum_(k = 1)^n ((1)/(k) - (1)/(k + 1))

Passo 1

Se abrirmos o somatório, veremos que :

s_n = sum_(k = 1)^n ((1)/(k) - (1)/(k + 1)) = 1 - (1)/(2) + (1)/(2) - (1)/(3) - (1)/(4) + (1)/(4) + ... + (1)/(n) - (1)/(n + 1)

Podemos observar que os termos intermediários como (1)/(2) , (1)/(3) , (1)/(4) se cancelam, logo podemos dizer que:

s_n = 1 - (1)/(n + 1)

Passo 2

Aplicando o limite

underset(n -> + oo)(lim) s_n = underset(n -> + oo)(l i m) 1 - (1)/(n + 1)

Veremos que

underset(n -> + oo)(lim) s_n = 1 - 0 = 1

Resposta

underset(n -> + oo)(lim) a_n = 1

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