Considere o sistema:
Prove que é uma condição necessária para que as trajetórias das soluções sejam elipses. Tal condição é suficiente?
Passo 1
Primeiramente perceba que temos um sistema de duas equações diferenciais lineares de 1º ordem, homogêneas com coeficientes constantes.
O sistema pode ser mais facilmente decifrado se tomarmos sua forma matricial.
Então:
A equação característica para esse sistema será:
Onde é a matriz unitária
E
Passo 2
Portanto,
Dessa equação obtemos as seguintes raízes:
Se , teremos raízes complexas.
Mais do que isso, sabemos que a equação da elipse não apresenta exponencial, isso significa que precisamos obter raízes do tipo .
Passo 3
Pois dessa forma, obtemos uma solução do tipo:
Onde é o autovetor da raíz.
Mas,
por relações de Laplace sabemos que:
Então,
Logo, teremos:
Ou seja:
E assim obtemos a solução:
Como são constantes, podemos reescrever da seguinte forma:
Que descreve uma trajetória elíptca, pois essa solução também serve para a EDL:
Onde são as constantes que estão presentes na equação da elipse:
Resposta
Concluindo, perceba que isso só será possível, quando:
Sendo essa portanto, uma condição necessária mas não suficiente, uma vez que isso não garante a obtenção de raízes complexas.
Entretando, se:
Então a condição torna-se suficiente para que obtenhamos uma trajetória elíptica.