Considere o sistema:

x ˙ = a 11 x + a 12 y y ˙ = a 21 x + a 22 y

Prove que a 11 + a 22 = 0   é uma condição necessária para que as trajetórias das soluções sejam elipses. Tal condição é suficiente?

Passo 1

Primeiramente perceba que temos um sistema de duas equações diferenciais lineares de 1º ordem, homogêneas com coeficientes constantes.

O sistema pode ser mais facilmente decifrado se tomarmos sua forma matricial.

Então:

x ˙ y ˙ = a 11 a 12 a 21 a 22 ⏟ A .   x y

A equação característica para esse sistema será:

det ⁡ A - λ I = 0

Onde I   é a matriz unitária

I = 1 0 0 1

E

λ I = λ 0 0 λ

Passo 2

Portanto,

det ⁡ A - λ I = a 11 - λ a 12 a 21 a 22 - λ

det ⁡ A - λ I = λ 2 - a 11 + a 22 λ + a 11 a 22 - a 21 a 12 = 0

Dessa equação obtemos as seguintes raízes:

λ = a 11 + a 22 2 ± ∆ 2

Se ∆ < 0 , teremos raízes complexas.

Mais do que isso, sabemos que a equação da elipse não apresenta exponencial, isso significa que precisamos obter raízes do tipo λ = 0 ± b i .

Passo 3

Pois dessa forma, obtemos uma solução do tipo:

x y = m n e λ t

Onde v = m n é o autovetor da raíz.

Mas,

e λ t = e 0 + β i t

por relações de Laplace sabemos que:

e a ± b i t = e a t cos ⁡ b t + i sin ⁡ b t

Então,

e 0 + β i t = e 0 t cos ⁡ β t + i sin ⁡ β t = cos ⁡ β t + i   s i n ⁡ ( β t )

Logo, teremos:

x y = m n .   cos ⁡ β t + i sin ⁡ β t

Ou seja:

x = m   cos ⁡ β t + i sin ⁡ β t y = n   cos ⁡ β t + i sin ⁡ β t

E assim obtemos a solução:

x t = C 1 m cos ⁡ β t + C 2 m sin ⁡ β t y t = C 1 n cos ⁡ β t + C 2 n sin ⁡ β t  

Como C 1 ,   C 2 ,   m   e   n são constantes, podemos reescrever da seguinte forma:

x t = A cos ⁡ β t + B sin ⁡ β t y t = C cos ⁡ β t + D sin ⁡ β t  

Que descreve uma trajetória elíptca, pois essa solução também serve para a EDL:

a x d x + b y d y = 0

Onde a   e   b são as constantes que estão presentes na equação da elipse:

a c x 2 + b c y 2 = 1

Resposta

Concluindo, perceba que isso só será possível, quando:

  1. a = a 11 + a 22 2 = 0 → a 11 + a 22 = 0
  2. Sendo essa portanto, uma condição necessária mas não suficiente, uma vez que isso não garante a obtenção de raízes complexas.

    Entretando, se:

  3. a 11 a 22 - a 21 a 12 > 0

Então a condição a 11 + a 22 = 0 torna-se suficiente para que obtenhamos uma trajetória elíptica.

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