Considere o sistema:

x ˙ = a 11 x + a 12 y y ˙ = a 21 x + a 22 y

Sejam λ 1   e   λ 2 as raízes da equação característica

a 11 - λ a 12 a 21 a 22 - λ = 0

Seja,

x = x t y = y t   t ∈ R

Uma solução qualquer do sistema. Prove:

  1. Se λ 1 < 0   e   λ 2 < 0 ,   e n t ã o  

lim t → ∞ ⁡ x t , y t = 0,0

Passo 1

Lembrando sempre que estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem e homogêneas.

Uma análise com matrizes facilita o estudo, podemos então reescrever o sistema dado da seguinte forma matricial:

x ˙ y ˙ = a 11 a 12 a 21 a 22 ⏟ A .   x y

Repare que se realizarmos a operação cairemos exatamente no sistema dado.

Passo 2

Agora, podemos encontrar a equação característica para o sistema, ela será dada por:

det ⁡ A - λ I = 0

Onde I   é a matriz unitária

I = 1 0 0 1

E

λ I = λ 0 0 λ

Logo,

det ⁡ A - λ I = a 11 - λ a 12 a 21 a 22 - λ = 0

Passo 3

E então encontraremos a seguinte equação:

λ 2 - a 11 + a 22 λ + a 11 a 22 - a 21 a 12 = 0

Vamos considerar o seguinte: λ 1 = - α     e     λ 2 = - β ,   c o m   α   e   β ∈ R

E que sejam u = m 1 n 1   e   v = m 2 n 2 os autovetores de λ 1     e     λ 2 respectivamente.

Então admitiremos uma solução do tipo:

x y = C 1 m 1 n 1   e - α t + C 2 m 2 n 2 e - β t

Ou seja,

x t = C 1 m 1 e - α t + C 2 m 2 e - β t y t = C 1 n 1 e - α t + C 2 n 2 e - β t

Então quando t → ∞ :

lim t → ∞ ⁡ ( C 1 m 1 e - α t + C 2 m 2 e - β t ) = C 1 m 1 lim t → ∞ ⁡ e - α t + C 2 m 2 lim t → ∞ ⁡ e - β t

E

lim t → ∞ ⁡ C 1 n 1 e - α t + C 2 n 2 e - β t = C 1 n 1 lim t → ∞ ⁡ e - α t + C 2 n 2 lim t → ∞ ⁡ e - β t

Quando t → ∞ então e - t → 0 , e portanto:

lim t → ∞ ⁡ x t , y t = 0,0

Obs: repare que se tomarmos λ 1 < 0   e   λ 2 < 0 e λ 1 = λ 2 encontraríamos a seguinte solução geral:

x y = C 1 m 1 n 1   e λ 1 t + C 2 m 1 n 1 t   e λ 1 t

E então chegaríamos no mesmo resultado.

Resposta

Concluimos que quando λ 1 < 0   e   λ 2 < 0 a solução para o sistem será do tipo:

x y = C 1 m 1 n 1   e - α t + C 2 m 2 n 2 e - β t

E então o limite para quando t → ∞ :

lim t → ∞ ⁡ x t , y t = 0,0

Pois quando t → ∞ , e - t → 0 .

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