Considere o sistema:
Sejam as raízes da equação característica
Seja,
Uma solução qualquer do sistema. Prove:
- Se
Passo 1
Lembrando sempre que estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem e homogêneas.
Uma análise com matrizes facilita o estudo, podemos então reescrever o sistema dado da seguinte forma matricial:
Repare que se realizarmos a operação cairemos exatamente no sistema dado.
Passo 2
Agora, podemos encontrar a equação característica para o sistema, ela será dada por:
Onde é a matriz unitária
E
Logo,
Passo 3
E então encontraremos a seguinte equação:
Vamos considerar o seguinte:
E que sejam os autovetores de respectivamente.
Então admitiremos uma solução do tipo:
Ou seja,
Então quando :
E
Quando então , e portanto:
Obs: repare que se tomarmos e encontraríamos a seguinte solução geral:
E então chegaríamos no mesmo resultado.
Resposta
Concluimos que quando a solução para o sistem será do tipo:
E então o limite para quando
Pois quando , .