Determine a solução geral:

(d) (d^3 y)/(d x^3) + 2 (d^2 y)/(d x^2) + 2 (d y)/(d x) = 0

Passo 1

Trata-se de uma EDL de 3º ordem e homogênea, sabendo disso podemos utilizar do uso de equações auxiliares para encontrar uma solução geral.

Seja então a seguinte equação auxiliar:

m^3 + 2 m^2 + 2 m = 0

Perceba que podemos reescrever da seguinte forma:

m (m^2 + 2 m + 2) = 0

Passo 2

E dessa forma temos as seguintes possibilidades:

(i) m = 0

(ii) m^2 + 2 m + 2 = 0

De (i) obtemos a primeira raíz: m_1 = 0

De (ii) obtemos as seguinte raízes complexas, lembrando que m = a +- b i :

m_2 = - 1 + 1 i e m_3 = - 1 - 1 i

então, a = - 1 e b = 1

Passo 3

Perceba então, que temos uma raíz real e duas raízes complexas, vamos dividir a solução geral em duas etapas, uma real e outra complexa:

  1. Etapa real:
  2. y (x) = C_1 e^(m_1 x)

    y (x) = C_1

  3. Etapa dos complexos:

y (x) = e^(a x) [C_2 cos (b x) + C_3 sin (b x)]

y (x) = e^(- x) [C_2 cos (x) + C_3 sin (x)]

A solução geral para a EDL será obtida pela soma das partes, real e complexa:

y (x) = C_1 + e^(- x) [C_2 cos (x) + C_3 sin (x)]

Resposta

Comcluimos então, que a solução geral para a EDL dada, assume a seguinte forma:

y (x) = C_1 + C_2 ((cos (x))/(e^x)) + C_3 ((sin (x))/(e^x))

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