3 - Considere o sistema

  x ˙ = - 3 x - 2 y + 6 cos ⁡ t y ˙ = x - cos ⁡ t

Faça um esboço das trajetórias das soluções para t > 0 suficientemente grande. Interprete.

Passo 1

Em sistema de soluções de EDO’s não homogênea, como sabemos temos que primeiro resolver a homogênea e depois a particular! O sistema homogêneo é:

x ˙ = - 3 x - 2 y y ˙ = x

Como já vimos de montão como resolver homogêneas, vou ser mais rápido aqui, beleza? A matriz de coeficientes é:

A = - 3 - 2 1 0

Então, os autovalores λ podem ser encontrados por:

det ⁡ - 3 - λ - 2 1 0 - λ = 0     →

det ⁡ - 3 - λ - 2 1 - λ = 0     →

- 3 - λ - λ + 2 = 0       →

λ 2 + 3 λ + 2 = 0       →

Então...

λ 1 = - 1  

λ 2 = - 2

Show! As soluções fundamentais então serão assim:

x 1 = v 1 e λ 1 t

x 2 = v 2 e λ 2 t

Quanto a v 1 e v 2 são os autovetores!

Passo 2

BUSCA PELOS AUTOVETORES: Vetor 1.

Os autovetores no caso são calculados assim:

- 3 - λ - 2 1 0 - λ c d = 0

Onde c e d são as coordenadas do nosso vetor v 1 . Como λ 1 = - 1 ...

- 2 - 2 1 1 c d = 0       →

- 2 c - 2 d = 0

Isolando d em função de c :

d = c

Escolhendo c = 1 , então...

d = 1

O autovetor v então será:

v 1 = 1 1

BUSCA PELOS AUTOVETORES: Vetor 2.

- 3 - λ - 2 1 0 - λ c d = 0

Onde c e d são as coordenadas do nosso vetor v 2 . Como λ 2 = - 2 ...

- 1 - 2 1 2 c d = 0       →

- c - 2 d = 0

Isolando c em função de d :

c = - 2 d

Escolhendo d = 1 , então...

c = - 2

O autovetor v então será:

v 2 = - 2 1

Logo, as soluções fundamentais serão...

x 1 = 1 1 e - t

x 2 = - 2 1 e 2 t

Ou, simplificando...

x 1 = e - t e - t

x 2 = - 2 e 2 t e 2 t

Passo 3

Com essas soluções fundamentais encontradas, podemos encontrar a solução da particular X p sabendo da formulinha marota:

X p = u 1 x 1 + u 2 x 2

Onde u 1 e u 2 são encontrados aqui

u 1 u 2 = ∫ x 1 x 2 - 1 ⋅ G t d t

E o G t é o vetor que torna a coisa toda não homogênea:

  x ˙ = - 3 x - 2 y + 6 cos ⁡ t y ˙ = x - cos ⁡ t                   →                       G t = 6 cos ⁡ t - cos ⁡ t

Então vamos calcular essa integral aí!

Passo 4

u 1 u 2 = ∫ e - t e - t - 2 e 2 t e 2 t - 1 ⋅ 6 cos ⁡ t - cos ⁡ t d t

Invertendo essa matriz:

e - t e - t - 2 e 2 t e 2 t - 1 = 1 D e 2 t - e - t 2 e 2 t e - t

Onde D é o determinante da matriz original.

D = det ⁡ e - t e - t - 2 e 2 t e 2 t = e - t e 2 t + 2 e 2 t e - t =

e t + 2 e t = 3 e t

Então...

e - t e - t - 2 e 2 t e 2 t - 1 = 1 3 e t e 2 t - e - t 2 e 2 t e - t =

1 3 e t - 1 3 e - 2 t 2 3 e t 1 3 e - 2 t  

Logo...

u 1 u 2 = ∫ e - t e - t - 2 e 2 t e 2 t - 1 ⋅ 6 cos ⁡ t - cos ⁡ t d t     →

u 1 u 2 = ∫ 2 e t cos ⁡ t - 4 e t cos ⁡ t - 2 e - 2 t cos ⁡ t - 1 3 e - 2 t cos ⁡ t d t     →

u 1 u 2 = ∫ - 2 e t cos ⁡ t - 7 3 e - 2 t cos ⁡ t d t     →

Integrando então essa matriz integrando cada um dos termos:

u 1 u 2 = - e t sin ⁡ t + cos ⁡ t - 7 15 e 2 t sin ⁡ t + 2 cos ⁡ t

Repare que não há necessidade de se colocar a constante de integração! A solução da particular então será:

X p = u 1 x 1 + u 2 x 2     →

X p = - e t sin ⁡ t + cos ⁡ t e - t e - t - 7 15 7 15 e 2 t sin ⁡ t + 2 cos ⁡ t - 2 e 2 t e 2 t

Simplificando...

x p y p = - e - t e t sin ⁡ t + cos ⁡ t - e - t e t sin ⁡ t + cos ⁡ t - - 2 e 2 t 7 15 e 2 t sin ⁡ t + 2 cos ⁡ t e 2 t 7 15 e 2 t sin ⁡ t + 2 cos ⁡ t

x p y p = - sin ⁡ t + cos ⁡ t - sin ⁡ t + cos ⁡ t - - 14 15 e 4 t sin ⁡ x + 2 cos ⁡ x 7 15 e 4 t sin ⁡ t + 2 cos ⁡ t

x p y p = - sin ⁡ t + cos ⁡ t + 14 15 e 4 t sin ⁡ x + 2 cos ⁡ x - sin ⁡ t + cos ⁡ t - 7 15 e 4 t sin ⁡ t + 2 cos ⁡ t   →

x p y p = sin ⁡ t + 2 cos ⁡ t - 1 + 14 15 e 4 t sin ⁡ t + 2 cos ⁡ t - 1 - 7 15 e 4 t  

Passo 5

A solução geral então será:

x y = c 1 x 1 + c 2 x 2 + x p y p     →

x y = c 1 e - t e - t + c 2 - 2 e 2 t e 2 t + sin ⁡ t + 2 cos ⁡ t - 1 + 14 15 e 4 t sin ⁡ t + 2 cos ⁡ t - 1 - 7 15 e 4 t    

ORA! Quanto t estiver muito longe do 0 , indo para o infinito mesmo, a exponencial maior vai prevalecer, isto é: e 4 t . E a resposta vai ter uma cara assim:

x y ≈ sin ⁡ t + 2 cos ⁡ t - 1 + 14 15 e 4 t sin ⁡ t + 2 cos ⁡ t - 1 - 7 15 e 4 t    

Ou ainda, como - 1 não é nada perto de e 4 t que está próximo ao infinito:

x y ≈ sin ⁡ t + 2 cos ⁡ t 14 15 e 4 t sin ⁡ t + 2 cos ⁡ t - 7 15 e 4 t     →

Então o desenho disso vai ser de uma espiral indo para o infinito:

Resposta

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