1 - Determine uma solução particular

c ) {[[overset(˙)(x) = x - 2 y + e^(2 t)],[overset(˙)(y) = x + y - 3 e^(2 t)]])

Passo 1

Em sistema de soluções de EDO’s não homogênea, como sabemos temos que primeiro resolver a homogênea e depois a particular! O sistema homogêneo é:

{[[overset(˙)(x) = x - 2 y],[overset(˙)(y) = x + y]])

Como já vimos de montão como resolver homogêneas, vou ser mais rápido aqui, beleza? A matriz de coeficientes é:

A = [[[1,-,2],[1,1]]]

Então, os autovalores lambda podem ser encontrados por:

det ([[1,-,lambda,-,2],[1,1,-,lambda]]) = 0 ->

det ([[1,-,lambda,-,2],[1,1,-,lambda]]) = 0 ->

(1 - lambda)^2 = - 2 ->

1 - lambda = +- sqrt(- 2) ->

Então...

lambda = 1 +- sqrt(2) i

Show! As soluções fundamentais então serão assim:

x^((1)) = e^(a t) (vec alpha cos (b t) - vec beta sin (b t))

x^((2)) = e^(a t) (vec alpha sin (b t) + vec beta cos (b t))

Onde a e b :

lambda = 1 +- sqrt(2) i -> a = 1 e b = sqrt(2)

Quanto a alpha e beta são os autovetores!

Passo 2

BUSCA PELOS AUTOVETORES: CASO COMPLEXO.

Os autovetores no caso de números complexos são calculados assim:

([[1,-,lambda,-,2],[1,1,-,lambda]]) ([[c],[d]]) = 0

Onde c e d são as coordenadas complexas do nosso vetor v . Como lambda = 1 +- sqrt(2) i , ecolhendo lambda = 1 + sqrt(2) i para analisar...

([[1,-,(1 + sqrt(2) i),-,2],[1,1,-,(1 + sqrt(2) i)]]) ([[c],[d]]) = 0 ->

- sqrt(2) i c - 2 d = 0

Isolando d em função de c :

d = - (sqrt(2))/(2) i c

Escolhendo c = 1 , então...

d = - (sqrt(2))/(2) i

O autovetor v então será:

v = ([[1],[- (sqrt(2))/(2) i]]) =

([[1],[0]]) + ([[0],[- (sqrt(2))/(2)]]) i

Ou seja:

vec alpha = ([[1],[0]]) e vec beta = ([[0],[- (sqrt(2))/(2)]])

Logo, as soluções fundamentais serão...

x^((1)) = e^t (([[1],[0]]) cos (sqrt(2) t) - ([[0],[- (sqrt(2))/(2)]]) sin (sqrt(2) t))

x^((2)) = e^t (([[1],[0]]) sin (sqrt(2) t) + ([[0],[- (sqrt(2))/(2)]]) cos (sqrt(2) t))

Ou, simplificando...

x^((1)) = ([[e^t cos (sqrt(2) t)],[(sqrt(2))/(2) e^t sin (sqrt(2) t)]])

x^((2)) = ([[e^t sin (sqrt(2) t)],[- (sqrt(2))/(2) e^t cos (sqrt(2) t)]])

Passo 3

Com essas soluções fundamentais encontradas, podemos encontrar a solução da particular X_p sabendo da formulinha marota:

X_p = u_1 x^((1)) + u_2 x^((2))

Onde u_1 e u_2 são encontrados aqui

([[u_1],[u_2]]) = int [[[x^((1)),x^((2))]]]^(- 1) * G (t) d t

E o G (t) é o vetor que torna a coisa toda não homogênea:

{[[overset(˙)(x) = x - 2 y + e^(2 t)],[overset(˙)(y) = x + y - 3 e^(2 t)]]) -> G (t) = ([[e^(2 t)],[- 3 e^(2 t)]])

Então vamos calcular essa integral aí!

Passo 4

([[u_1],[u_2]]) = int [[[[[e^t cos (sqrt(2) t)],[(sqrt(2))/(2) e^t sin (sqrt(2) t)]],[[e^t sin (sqrt(2) t)],[- (sqrt(2))/(2) e^t cos (sqrt(2) t)]]]]]^(- 1) * ([[e^(2 t)],[- 3 e^(2 t)]]) d t

Invertendo essa matriz:

[[[[[e^t cos (sqrt(2) t)],[(sqrt(2))/(2) e^t sin (sqrt(2) t)]],[[e^t sin (sqrt(2) t)],[- (sqrt(2))/(2) e^t cos (sqrt(2) t)]]]]]^(- 1) = (1)/(D) [[[[[- (sqrt(2))/(2) e^t cos (sqrt(2) t)],[- (sqrt(2))/(2) e^t sin (sqrt(2) t)]],[[- e^t sin (sqrt(2) t)],[e^t cos (sqrt(2) t)]]]]]

Onde D é o determinante da matriz original.

D = det [[[[[e^t cos (sqrt(2) t)],[(sqrt(2))/(2) e^t sin (sqrt(2) t)]],[[e^t sin (sqrt(2) t)],[- (sqrt(2))/(2) e^t cos (sqrt(2) t)]]]]] = - (sqrt(2))/(2) e^(2 t) cos^2 (sqrt(2) t) - (sqrt(2))/(2) e^(2 t) sin^2 (sqrt(2) t) =

- (sqrt(2))/(2) e^(2 t) (cos^2 t + sin^2 t) = - (sqrt(2))/(2) e^(2 t)

Então...

[[[[[e^t cos (sqrt(2) t)],[(sqrt(2))/(2) e^t sin (sqrt(2) t)]],[[e^t sin (sqrt(2) t)],[- (sqrt(2))/(2) e^t cos (sqrt(2) t)]]]]]^(- 1) = (1)/(D) [[[[[- (sqrt(2))/(2) e^t cos (sqrt(2) t)],[- (sqrt(2))/(2) e^t sin (sqrt(2) t)]],[[- e^t sin (sqrt(2) t)],[e^t cos (sqrt(2) t)]]]]] =

- (2)/(sqrt(2)) [[[[[- (sqrt(2))/(2) e^t cos (sqrt(2) t)],[- (sqrt(2))/(2) e^t sin (sqrt(2) t)]],[[- e^t sin (sqrt(2) t)],[e^t cos (sqrt(2) t)]]]]] =

[[[[[e^t cos (sqrt(2) t)],[e^t sin (sqrt(2) t)]],[[(2)/(sqrt(2)) e^t sin (sqrt(2) t)],[(2)/(sqrt(2)) e^t cos (sqrt(2) t)]]]]]

Logo...

([[u_1],[u_2]]) = int [[[[[e^t cos (sqrt(2) t)],[(sqrt(2))/(2) e^t sin (sqrt(2) t)]],[[e^t sin (sqrt(2) t)],[- (sqrt(2))/(2) e^t cos (sqrt(2) t)]]]]]^(- 1) * ([[e^(2 t)],[- 3 e^(2 t)]]) d t ->

([[u_1],[u_2]]) = int [[[[[e^t cos (sqrt(2) t)],[e^t sin (sqrt(2) t)]],[[(2)/(sqrt(2)) e^t sin (sqrt(2) t)],[(2)/(sqrt(2)) e^t cos (sqrt(2) t)]]]]] * ([[e^(2 t)],[- 3 e^(2 t)]]) d t ->

([[u_1],[u_2]]) = int ([[e^(3 t) cos (sqrt(2) t) - (6)/(sqrt(2)) e^(3 t) sin (sqrt(2) t)],[e^(3 t) sin (sqrt(2) t) - (6)/(sqrt(2)) e^(3 t) cos (sqrt(2) t)]]) d t

Usando aí um software de resolução de integrais, como o WolframAlpha:

([[u_1],[u_2]]) = ([[(1)/(11) e^(3 t) (9 cos (sqrt(2) t) - 8 sqrt(2) sin (sqrt(2) t))],[- (1)/(11) e^(3 t) (3 sin (sqrt(2) t) + 10 sqrt(2) cos (sqrt(2) t))]])

Repare que não há necessidade de se colocar a constante de integração! A solução da particular então será:

X_p = u_1 x^((1)) + u_2 x^((2)) ->

X_p = [(1)/(11) e^(3 t) (9 cos (sqrt(2) t) - 8 sqrt(2) sin (sqrt(2) t))] ([[e^t cos (sqrt(2) t)],[(sqrt(2))/(2) e^t sin (sqrt(2) t)]]) + [- (1)/(11) e^(3 t) (3 sin (sqrt(2) t) + 10 sqrt(2) cos (sqrt(2) t))] ([[e^t sin (sqrt(2) t)],[- (sqrt(2))/(2) e^t cos (sqrt(2) t)]])

Podemos passar aquela exponencial dos vetores para fora e simplificar um pouco a parada, saca?

([[x_p],[y_p]]) = [(1)/(11) e^(4 t) (9 cos (sqrt(2) t) - 8 sqrt(2) sin (sqrt(2) t))] ([[cos (sqrt(2) t)],[(sqrt(2))/(2) sin (sqrt(2) t)]]) - [(1)/(11) e^(4 t) (3 sin (sqrt(2) t) + 10 sqrt(2) cos (sqrt(2) t))] ([[sin (sqrt(2) t)],[- (sqrt(2))/(2) cos (sqrt(2) t)]])

Resposta

([[x_p],[y_p]]) = [(1)/(11) e^(4 t) (9 cos (sqrt(2) t) - 8 sqrt(2) sin (sqrt(2) t))] ([[cos (sqrt(2) t)],[(sqrt(2))/(2) sin (sqrt(2) t)]]) - [(1)/(11) e^(4 t) (3 sin (sqrt(2) t) + 10 sqrt(2) cos (sqrt(2) t))] ([[sin (sqrt(2) t)],[- (sqrt(2))/(2) cos (sqrt(2) t)]])

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