É convergente ou divergente? Justifique.

d) sum_(k = 3)^(+ oo) (1)/(k^(alpha) * (ln k)^(beta)) , o n d e alpha > 0 e beta > 0 s ã o n ú m e r o s r e a i s d a d o s .

Passo 1

Nesse problema iremos aplicar o critério de Cauchy-Fermat para descobrirmos se a mesma converge ou diverge. Pra isso, vamos comparar nossa série inicial com a série

sum_(k = 0)^(oo) (e^((1 - alpha) * k))/(k^(beta))

em que haverá condições especificias para que a série seja convergente ou divergente.

Passo 2

Bom, vamos começar. Para esse item, vamos ter uma coisa um pouquinho mais complicada. De acordo com o critério de Cauchy-Fermat, podemos dizer que o comportamento de nossa série inicial é o mesmo que o da série mostrada no passo 1. Se analisarmos então essa série de comparação, vamos ter que se alpha = 1 e beta > 1 , vamos ter uma série convergente pois cairemos em uma série harmônica de ordem maior que 1. Teremos o mesmo resultado para caso alpha > 1 e beta > 0 . Agora, para os casos onde alpha = 1 e 0 < beta <= 1 e 0 < alpha < 1 e beta > 0 , nossa série será divergente.

Resposta

C o n v e r g e n t e p a r a alpha = 1 e beta > 1 , alpha > 1 e beta > 0

D i v e r g e n t e p a r a alpha = 1 e 0 < beta <= 1 , 0 < alpha < 1 e beta > 0

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